H() – частотно-зависимая комплексная функция. Ее модуль называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а арктангенс отношения мнимой и вещественной частей – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). На векторной диаграмме представлена геометрическая интерпретация передаточной функции. С ее помощью легко понять, как получаются выражения для АЧХ и ФЧХ.

Поскольку выражения для АЧХ и ФЧХ содержат частотно-зависимые компоненты, естественно, что обе эти характеристики частотно-зависимые (отсюда их названия). По сути, именно эту особенность мы и используем для фильтрации.

Рассмотрим выражения для АЧХ в двух крайних точках. При частоте = 0 на входе имеем постоянный ток, значение АЧХ стремится к нулю вследствие большой величины знаменателя. В другой крайней точке частотастремится к бесконечности, а значение АЧХ приближается к единице. Это дает нам представление о поведении АЧХ как функции частоты.

Еще одной важной точкой на графике АЧХ является «частота среза». Она задается как точка, в которой значение АЧХ падает до (1/
) от своей величины в полосе пропускания, и обычно называется «точкой 3 дБ». Ее можно рассчитать, используя выражение для АЧХ, после возведения в квадрат обеих частей равенства. Частота срезаf c = 1/2RC указывает на точку перегиба в ФЧХ фильтра. У ФВЧ, за частотой среза практически отсутствует затухание входного сигнала.

ФЧХ можно рассчитать по соответствующему выражению. ФЧХ начинается с 90-градусным опережением на низких частотах и падает до 45 о на частоте среза. За частотой среза и далее, в направлении более высоких частот, сдвиг фазы продолжает падать. Во всех реальных приложениях нас интересует поведение ФЧХ в полосе пропускания. В данном конкретном случае ФЧХ в полосе пропускания изменяется от 45 о (опережение фазы) до 0 о. Возможно, что это отвечает требованиям для ряда приложений, например таких, как низкокачественная запись речи.

1. Фильтр нижних частот

Простой ФНЧ представляет собой RC-цепочку, состоящую из конденсатора и резистора. Характеристики ФНЧ очень похожи на характеристики ФВЧ, который мы только что рассмотрели. Единственная разница заключается в том, что они повернуты по частоте в обратном направлении (реверсируются), как и ожидалось. АЧХ опускается ниже единицы за частотой среза. Фаза выходного сигнала отстает от фазы входного сигнала на 45 о на частоте среза, и это отставание возрастает до 90 о на более высоких частотах.

Мы познакомились с двумя очень простыми фильтрами. Теперь мы знаем, что сигнал ослабляется на определенных частотах, а фаза выходного сигнала изменяется с частотой. Но как убедиться в том, что характеристики фильтра отвечают нашим целям? Что является критерием при сравнении характеристик фильтров?

Теперь определимся с терминологией и сформулируем некоторые требования к характеристикам фильтров.

1. Ачх в дБ и частота в декадах

Диапазон возможных чисел будет больше, а количество нулей в записи числа меньше, если представлять числа в логарифмическом масштабе. Традиционно АЧХ фильтров представляется в децибелах (дБ). Децибел определяется следующим образом: АЧХ (дБ) = 20 lg (АЧХ).

Декада – это единица измерения, используемая для частоты, которая, аналогично децибелам, позволяет охватить больший диапазон частот нетривиальным способом. Например, спад 20 дБ/декада означает, что затухание фильтра увеличивается на 20 дБ за каждую декаду частоты ) .

По определению, частотная характеристика параметра цепи есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде входного гармонического сигнала

H(jω) = Y m /X m .

Таким образом, частотная характеристика есть функция комплексной переменной jω – комплексной частоты, и ее называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ), которую в показательной форме можно записать:

H(jω) = Y m /X m =(Y m е j φ y)/ (X m е j φ x) = (Y m /X m)е j φ(ω)

Из записанного выражения следует, что комплексная функция состоит из двух действительных функций:

1. H(ω) = Y m /X m – АЧХ;

2. φ(ω) = φ y - φ x - ФЧХ.

Измерение АЧХ и ФЧХ с помощью генератора и осциллографа слишком трудоемко, значительно проще проводить измерения с помощью измерителя диаграмм Боде, входящего в состав виртуальной электронной лаборатории EWB. Передняя панель и его выводы показаны на рис.1.1.

В режиме измерения АЧХ (Magnitude) на экран выводится график зависимости от частоты отношения U my /U mx , где U my -амплитуда гармонического сигнала по напряжению на выводах OUT - “ВЫХОД”, а U mx – амплитуда гармонического сигнала по напряжению на выводах IN - “ВХОД”. В режиме измерения ФЧХ (Phase) на экран выводится график зависимости от частоты фазового сдвига между гармоническими сигналами по напряжению U my на выводах “ВЫХОД”, и - U mx на выводах “ВХОД”.

Настройка измерителя заключается в выборе масштабов по осям: логарифмический (кнопка LOG) или линейный (кнопка LIN), и в выборе пределов измерения по вертикальной и горизонтальной осям с помощью кнопок в окошках F – максимальное значение и I – минимальное значение.

Измерение конкретных значений АЧХ и ФЧХ можно проводить с помощью вертикальной визирной линии, которая в исходном положении находится в начале координат и перемещается по экрану с помощью мыши или кнопками ←, →.

Значения измеряемой функции и ее аргумента в месте установки визирной линии индицируется в окошках в правом нижнем углу.

Так, к частотным передаточным характеристикам четырехполюсника относят комплексную функцию частотного коэффициента передачи напряжения К(jω)= U 2 m /U 1 m . Она представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды выходного напряжения к комплексной амплитуде напряжения на входе. Отсюда следует, что АЧХ передаточной функции напряжений есть К(ω)=U 2 m /U 1 m , а ФЧХ передаточной функции напряжений есть φ к (ω)= φ 2 - φ 1 .

Следовательно, для измерения указанных характеристик клеммы ВХОД измерителя диаграмм Боде необходимо подсоединить ко входу исследуемого четырехполюсника, а клеммы ВЫХОД к выходу четырехполюсника.

Схема измерения частотных передаточных по напряжению характеристик цепи приведена на рис.1.2.

К входным частотным характеристикам четырехполюсника относят полное комплексное входное сопротивление Zвх(jω)=U 1 m /I 1 m . Оно представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды входного напряжения к комплексной амплитуде тока на входе. Отсюда следует, что АЧХ комплексной функции входного сопротивления есть Z(ω) =U 1 m /I 1 m , а ФЧХ передаточной функции напряжений есть φ к (ω) = φ u 1 - φ I 1 .

Схема измерения частотных характеристик входного сопротивления четырехполюсника приведена на рис.1.3.

Для измерения входных характеристик клеммы ВЫХОД измерителя диаграмм Боде необходимо подсоединить ко входу исследуемого четырехполюсника, а клеммы ВХОД к дополнительному резистору R доп, на котором создается напряжение, пропорциональное входному току.

Отсюда следует, что измеряемая характеристика представляет собой комплексную функцию входного сопротивления:

H(jω) = Ym/Xm= U 1m /I 1m =Zвх(jω)

Графики результатов измерения АЧХ и ФЧХ входного сопротивления, полученные в результате копирования в режиме Analysis Graphs, удобно использовать при оформлении отчета по курсовой работе. Чтобы скопировать изображение схемы или любого фрагмента, расположенного на рабочем столе программы EWB в отчет, подготавливаемый в текстовом редакторе Word, необходимо в меню Edit выделить команду Copy as Bitmap. После чего курсор мыши превращается в крестик, которым по правилу прямоугольника можно выделить нужную часть экрана. После отпускания левой кнопки мыши выделенная часть копируется в буфер обмена, содержимое которого может быть импортировано в любое приложение Windows.

Методика измерения импульсной и переходной характеристик следует из их определений. Схема измерения переходной характеристики приведена на рис.1.5.

Генератор необходимо поставить в режим формирования однополярных прямоугольных импульсов положительной полярности с амплитудой 1В (амплитуда –500мВ, смещение – 500мВ). Осциллограф – в режим синхронизации по каналу А. Затем получить на экране осциллографа устойчивое изображение выходного сигнала исследуемой цепи. Сигнал по каналу В и есть переходная характеристика цепи. Частоту генератора необходимо подобрать так, чтобы в пределах импульса выходной сигнал практически достигал своего стационарного значения.

Построение годографа

При графическом представлении комплексных частотных характеристик (КЧХ) Н(jω) цепи обычно отдельно строят графики АЧХ Н(ω) и ФЧХ φ н (ω). Однако комплексную частотную характеристику можно представить на одном графике. Такой график называется годограф КЧХ и строится он в комплексной плоскости. Годограф КЧХ представляет собой геометрическое место точек концов вектора комплексной функции Н(jω) на комплексной плоскости при изменении частоты ω от 0 до ∞ (рис.1.6). Годограф иногда называют амплитудно-фазовой характеристикой цепи. График годографа позволяет одновременно судить как об АЧХ, а также об ФЧХ комплексной частотной характеристики.

Для построения годографа строится декартовая система координат, при этом по оси X откладывают реальную составляющую Re[Н(jω)] КЧХ, а по оси Y откладывают мнимую составляющую Jm[Н(jω)] КЧХ. На годографе указывают точки, соответствующие некоторым значениям частоты ω, и стрелкой показывают направление перемещения конца вектора Н(jω) при увеличении частоты. График годографа можно строить двумя способами.

По первому способу для построения графика можно использовать результаты расчета АЧХ Н(ω) и ФЧХ φ н (ω), а точки графика годографа для заданного значения частоты ω i наносить на комплексную плоскость аналогично тому, как это делается при построении графика в полярной системе координат.

По второму способу необходимо комплексную частотную характеристику Н(jω) записать в алгебраической форме Н(jω) = Re[Н(jω)] + jJm[Н(jω)], затем для определенных частот ω i рассчитать значения Re[Н(jω)] = Н 1 (ω i) и Jm[Н(jω)] = Н 2 (ω i), и затем, как обычно, нанести эти точки на плоскость и соединив их, получить график.

ЗАДАНИЕ. Для предложенного варианта линейной цепи и заданных параметров:

1. Определить вид дифференциального уравнения, описывающего данную цепь, относительно именно тех входных и выходных параметров, которые указаны на схеме.

2. Найти частотный коэффициент передачи, его модуль и аргумент.

3. Построить графики АЧХ и ФЧХ данной системы.

4. Определить частотный коэффициент передачи мощности и передаточную функцию системы.

5. Найти комплексную функцию входного сопротивления Z ВХ (jw), его АЧХ - Z ВХ (w) и ФЧХ - j z (w); построить графики.

6. Найти импульсную и переходную характеристики; построить их графики.

7. Определить характерные (резонансные) частоты.

8. Найти отклик цепи на прямоугольный импульс с амплитудой Е и длительностью t и временным, классическим, спектральным и операторным методами; сравнить полученные разными методами результаты.

9. Составить схемы измерений частотных и переходных характеристик: Z ВХ (w) и j z (w); K U (ω) и φ k (ω); h(t); g(t) с использованием приборов электронной виртуальной лаборатории Electronics Workbench (EWB).

10. Построить графики характеристик, полученные в результате моделирования.

11. Провести анализ соответствия результатов аналитического расчета и эксперимента.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТОВ

Варианты:

Таблица соответствий вариантов и параметров:

Вариант	Параметры
R, Ом	L, мГн	С, мкФ	Е, В	τ и, с
1.		0,5
2.
3.		0,4

Примечание:

1. Если в схеме два одинаковых элемента, то считать R 1 = 2R 2 ; L 1 = 2L 2 ;C 1 = 2C 2 .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. При каких условиях реакцию линейной системы на короткий входной импульс можно считать импульсной характеристикой системы?

2. Как связаны между собой импульсная характеристика системы и ее частотный коэффициент передачи?

3. Какими способами можно определить частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы? Выберите из них оптимальный, на Ваш взгляд, способ.

4. В чем состоит отличие динамических систем от стационарных?

5. В каких случаях и почему для анализа системы удобнее использовать частотный коэффициент передачи мощности?

7. Исследуйте аналогичные условия (дифференцирования и интегрирования) для RL-цепи.

9. Как определяется функция комплексного входного сопротивления цепи и в чем ее физический смысл?

10. Как определяются АЧХ и ФЧХ комплексного входного сопротивления?

11. В каких логарифмических единицах выражается усиление сигнала в системе?

12. Поясните принципы построения годографа и его практическую значимость.

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов В. П. Основы теории цепей. – М.: Высшая школа, 2000.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1999.

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1988.
2. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для ВУЗов/ В.П.Бакалов, А.Н.Игнатов, Б.И.Крук. – М: Радио и связь, 1989.
3. Каяцкас А. А. Основы радиоэлектроники. - М., Высшая школа, 1988.
4. Бирюков В. Н. Попов В. П. Семенцова В. И. Сборник задач по теории цепей. – М.: Высшая школа, 1998.
5. Шебес М. Р. Задачник по теории линейных электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1990.
6. Электротехника и электроника в экспериментах и упражнениях. Практикум на Electronics Workbench. В 2-х томах. Под ред. Д. И. Панфилова. - М.: Додэко, 2000.

Министерство образования Республики Беларусь

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.Я.КУПАЛЫ»

Физико-технический факультет

Кафедра промышленной электроники

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по курсу «Теория электрических цепей»

на тему: «АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ»

Вариант № ___

Выполнил:

студент 2 курса 4 группы _____(подпись)______ __(дата)__ И.О.Фамилия

Проверил:

доцент кафедры промышленной

электроники, к.т.н. ___________________________________ Т.А.Ситкевич

Гродно, 2012

Похожая информация.

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики (АЧХ и ФЧХ).

АЧХ представляет собой зависимость модуля коэффициента усиления от частоты входного сигнала, ФЧХ – зависимость угла сдвига фаз между входным и выходным напряжением от частоты.

Типовая АЧХ приведена на рис.5, а ФЧХ на рис. 6.

Рис. 5. Амплитудо-частотная характеристика усилителя.

На рис. 5 f Н и f В - нижняя и верхняя граничные частоты, за пределами которых коэффициент усиления усилителя уменьшается в раз по сравнению с коэффициентом усиления на средней частоте, а (f В - f Н) – полоса пропускания усилителя.

При усилении сигналов сложной формы, содержащей ряд гармонических составляющих, могут возникнуть искажения, так как гармоники усиливаются неодинаково из-за наличия реактивных элементов в схеме усилителя. Искажения, возникающие при этом, называются частотными и характеризуются коэффициентом частотных искажений М. Определяют искажения на нижней и верхней частотах:

М Н = К О / К Н и М В = К О /К В. , где К Н и К В – коэффициенты усиления на нижней и верхней граничных частотах. Амплитудно-частотная характеристика может быть построена в логарифмическом масштабе (ЛАЧХ). При этом, коэффициент усиления выражается в дБ, а по оси абсцисс откладывают частоты в логарифмическом масштабе.

Фазовые искажения возникают при сдвиге по фазе различных гармонических составляющих при усилении сигнала. Типовая ФЧХ приведена на рис. 6. Она также может быть построена в логарифмическом масштабе.

Рис. 6. Фазо-частотная характеристика усилителя.

Переходная характеристика усилителя представляет собой зависимость выходного сигнала (тока или напряжения) от времени при воздействии скачкообразного (импульсного) напряжения на входе. Вид переходной характеристики представлен на рис.5, где “δ” определяет выброс фронта выходного импульса, а “Δ” - спад вершины импульса.

Эти характеристики полностью определяют структуру частотного спектра выходного напряжения. Амплитудно-частотная характеристика отражает усилительные свойства электрической цепи. Фазо-частотная характеристика определяет фазовый сдвиг выходного напряжения относительно входного.

В комплексной форме (3) выделяем вещественную P (ω ) и мнимуюQ (ω ) части

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика

(5)

Где параметр φ * подбирается так, чтобы обеспечить непрерывность функцииφ (ω ) при том значенииω к , при котором обращается в нуль знаменатель в аргументе арктангенса, т.е.

Рис. 6. Характеристики цепи: а – амплитудно-частотная; б–фазо-частотная

1. Определение устойчивости

Условие устойчивости состояния покоя электрической цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя переходные токи и напряжения были затухающими. Энергия переходного процесса преобразуется в активных сопротивлениях цепи в теплоту, которая отводится в окружающую среду. Достаточное условие устойчивости электрической цепи: если корни числителя – нули и корни знаменателя – полюса передаточной функции HU(p) = A(p)/B(p) имеют отрицательную вещественную часть, то цепь устойчива.

Bнашем случае имеется двукратный корень числителя (2),p =0, что является нейтральным условием по отношению к устойчивости. Приравняв нулю знаменатель (2) и решив полученное уравнение

найдем два комплексно-сопряжённых его корня:

. (6)

Это полюса передаточной функции. Отобразим положение полюсов и нулей фнкции на комплексной плоскости. Т.к. полюса (их отмечают крестиком) расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней (рис. 7), это означает, что переходные процессы в цепи затухают и цепь устойчивая.

Рис.7. Полюса и нуль функции H U (p ) на комплексной плоскости

1. Определение реакции цепи на периодическое негармоническое входное воздействие

Фильтрующие свойства цепи во временной области проявляются в виде реакции цепи на периодическое несинусоидальное воздействие или воздействие более сложной формы. Разложение входного напряжения в бесконечный тригонометрический ряд Фурье имеет вид

Ограничим ряд Фурье первыми пятью гармониками.

Частоту внешнего воздействия подберем исходя из того условия, чтобы в диапазоне от ω 1 до 9ω 1 зависимостьH U (ω ) претерпевала существенное изменение. Для рассматриваемого варианта можно принятьf 1 =1000 Гц,T 1 =10 -3 c. Амплитуду воздействия выберемU m =1В.

У гармоник с нечётными номерами начальная фаза нулевая, с чётными – равная π. Занесём в таблицу характеристики первых пяти гармоник разложения входного сигнала:

№ гармоники	Цикл. частота, с -1	Амплитуда, В	Начальная фаза, рад

Построим амплитудный и фазовый частотные спектры входного воздействия. Амплитудный и фазовый спектры первых гармоник напряжения U 1 (t ) даны на рисунке:

a)б)

Рис.8. Амплитудный (а) и фазовый (б) частотные спектры входного воздействия.

Рис. 9. Первые гармоники входного напряжения (1-5) и их сумма (6)

Расчет и построение выходного напряжения. Сначала найдём реакцию цепи на каждую гармонику входного напряжения в отдельности. Результирующая реакция равна сумме составляющих реакций. Амплитуда n-й гармоники на выходе определяется выражением

,

а фаза – выражением

Вычисления по этим формулам сведены в таблицу:

№ гармоники n	Цикл. частота ω n , с -1	Амплитуда , В	Начальная фаза , град.

Построим амплитудный и фазовый частотные спектры выходной реакции.

Рис. 10. Амплитудный и фазовый спектры по частоте для выходного сигнала.

Выведем на график пять первых гармоник выходного сигнала и их сумму, аппроксимирующую отклик цепи на периодически повторяющийся прямоугольный импульс, подаваемый на вход. На графике хорошо заметны искажения формы сигнала. Понизился и интегральный уровень сигнала, хотя пиковые значения по-прежнему достигают 1 вольта. Поэтому для более качественной аппроксимации не следует ограничиваться всего пятью гармониками, т.к. при увеличении частоты AЧXне спадает, а даже растёт, и вклад высоких гармоник существенен.

Рис. 11. Пять гармоник на выходе и их сумма