Числовым выражением является запись чисел в совокупности с арифметическими операциями и скобками. Когда в выражении совместно с числами используются переменные и все выражение составлено со смыслом, то его называют алгебраическим (буквенным) выражением. Если в выражении присутствуют прямые, производные, обратные и другие тригонометрические функции, тогда выражение называют тригонометрическим. Большое количество примеров и задач с применением различных выражений детально изложено в школьном курсе математики.
Основное что нужно помнить:
1. Значением числового выражения будет являться число, полученное при выполнении арифметических действий в этом выражении. Главное последовательно выполнять арифметические действия. Для простоты всей операции, действия можно пронумеровать. Если выражение содержит скобки, то первым делом выполняем действие соответствующее знаку в скобках. Возведение в степень будет следующим этапом. Дальше по приоритету выполняем умножение либо деление и только в самом конце сложение и вычитание.
А теперь найдем значение числового выражения 5+20*(60-45). Для начала «избавляемся» от скобок. Выполняя действие, получим 60-45=15. Теперь мы имеем 5+20*15. Следующее действие умножение 20*15=300. И последним действием будет сложение, выполняем его и получаем конечный результат 5+300=305.
2. При известном угле? Работая с тригонометрическими выражениями, потребуются знания основных тригонометрических формул, которые помогут упростить выражение. Найдем значение выражения cos 12? cos 18?- sin 12? sin 18?. Чтобы упростить данное выражение воспользуемся формулой cos (? +?) = cos? cos? - sin? sin?, тогда получим cos 12? cos 18?- sin 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.
3. Выражения с переменными. Нужно помнить, что значение алгебраического выражения напрямую зависит от переменной. Переменные можно обозначать буквами греческого либо латинского алфавита. Когда мы имеем заданные параметры алгебраического выражения, для начала его нужно упростить. После этого необходимо подставить заданные переменные и произвести арифметические операции. В итоге при заданных переменных мы получим число, которое и будет являться значением алгебраического выражения. Рассмотрим такой пример, где нужно найти значение выражения 3(a+y)+2(3a+2y) при a=4 и y=5. Упростим это выражение и получим 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Теперь необходимо подставить значение переменных и вычислить, полученный результат и будет являться значением выражения. Итак, мы имеем 9a+7y при a=4 и y=5 получим 36+35=71. Обратите внимание на то, что алгебраические выражения не всегда имеют смысл. Например, такое выражение 15:(b-4) имеет смысл при любом b кроме b =4.
Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».
Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5: + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 - уже настоящее числовое выражение.
Значение числового выражения.
Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения .
Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий , сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение
числового выражения 5 + 8 ∙ 9.
Числовое равенство.
Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством
. При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным
. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство
, так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.
Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение
числового выражения (5 + 8) ∙ 9.
Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма - «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».
Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».
Примеры числовых выражений.
Приведем пример более сложного числового выражения:
\[\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]
В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.
В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$ . Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.
$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$
Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$
Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.
В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$
Получаем $\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$
Когда числовые выражения не имеют смысла?
Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».
Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже
В среде Lazarus можно также вычислять значения сложных математических выражений. К примеру, таких как нижеследующее выражение:
Все, что нам необходимо сделать, это правильно составить формулу, чтобы Lazarus смог скомпилировать ее, а затем и решить.
Рис. 4 – Программа «вычисление значения выражений» до запуска
Для начала при составлении программы между «procedure» и «begin» вводим команду var alfa………y:real; она необходима для расчета десятичных чисел. Также нужно ввести команду «math» в «uses», иначе некоторые функции в программе работать не будут.
Вот так выглядит код программы «вычисление значения выражений» в Lazarus-е:
procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);
var x,y: Single;
x:= StrToFloat (Edit1.Text);
y:= ((sin(x))/2)+3;
Label3.Caption:=FloatToStr(y);
Рис. 5 – Программа «Вычисление выражений» после запуска.
Программа составлена правильно, интерпретация прошла успешно. Сейчас, для того, чтобы рассчитать функцию «y», необходимо задать в формулу свои значения.
Вычисление сумм ряда чисел.
С помощью суммы рядов чисел можно: - разложить функцию в степенной ряд; - выполнить приближенные вычисления значений функции; - выполнить вычисления пределов; - выполнить вычисление определенных интегралов; - выполнить вычисление логарифмов; - выполнить интегрирование дифференциальных уравнений; - решить уравнение первого порядка итерационным методом.
Итерация – это повторяемое выполнение некоторого действия до тех пор, пока не будет удовлетворено некоторое условие. Ряд считается заданным, если дан закон, по которому можно вычислить любой член ряда, и известен порядковый номер этого числа. Среди рядов есть сходящиеся ряды и расходящиеся. Если значение частичных сумм Sn при неограниченном возрастании n стремится к некоторому числу А, ряд называется сходящимся, а число А при этом называют суммой. Таким образом, при неограниченном возрастании n значение Sn сколь угодно мало отличается от А, т.е. число А предел последовательности Sn.
Рис. 6 – Программа «Вычисление сумм ряда чисел» до запуска
Код программы «Вычисление сумм ряда чисел» будет выглядеть следующим образом:
Classes, SysUtils, FileUtil, LResources, Forms, Controls, Graphics, Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Math;
TForm1 = class (TForm)
Button1: TButton;
procedure Button1Click(Sender: TObject);
{ private declarations }
{ public declarations }
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var n, factorial: integer; x, y, s: real;
x:=StrToFloat(Edit1.Text);
for n:=1 to 25 do
s:=s + power(x,(n-1))/factorial;
factorial:=factorial*(n+1);
Label4.Caption:=FloatToStr(s);
y:=(power(2.76,x)-1)/x;
Label5.Caption:=FloatToStr(y);
Рис. 7 – Программа «Вычисление сумм ряда чисел» после запуска
Программа составлена правильно, компилирование объекта прошло успешно. Сейчас, для того, чтобы вычислить сумму ряда чисел, необходимо задать в формулу свои значения, и, созданная программа, аналогично калькулятору, рассчитает ответ.
Как правило, дети начинают изучать алгебру уже в младших классах. После освоения основных принципов работы с числами, они решают примеры с одной или несколькими неизвестными переменными. Найти значение выражения подобного плана может быть довольно трудно, однако если упростить его, используя знания начальной школы, все получится легко и быстро.
Что такое значение выражения
Числовым выражением называют алгебраическую запись, состоящую из чисел, скобок и знаков в том случае, если она имеет смысл.
Иными словами, если есть возможность найти значение выражения, значит запись не лишена смысла, и наоборот.
Примеры следующих записей являются правильными числовыми конструкциями:
- 3*8-2;
- 15/3+6;
- 0,3*8-4/2;
- 3/1+15/5;
Отдельное число также будет представлять собой числовое выражение, как число 18 из вышеуказанного примера.
Примеры неправильных числовых конструкций, которые не имеют смысла:
- *7-25);
- 16/0-;
- (*-5;
Неправильные числовые примеры представляют собой лишь набор математических знаков и не имеют никакого смысла.
Как находить значение выражения
Поскольку в подобных примерах присутствуют арифметические знаки, можно сделать вывод, что они позволяют произвести арифметические вычисления. Чтобы просчитать знаки или, говоря иначе, найти значение выражения, необходимо выполнить соответствующие арифметические манипуляции.
В качестве примера можно рассмотреть следующую конструкцию: (120-30)/3=30. Число 30 будет являться значением числового выражения (120-30)/3.
Инструкция:
Понятие числового равенства
Числовым равенством называется ситуация, когда две части примера разделены знаком «=». То есть одна часть полностью равна (идентична) другой, пусть даже отображенной в виде других сочетаний символов и цифр.
Например, любую конструкцию типа 2+2=4 можно назвать числовым равенством, поскольку, даже поменяв части местами, смысл не изменится: 4=2+2. То же самое касается более сложных конструкций, включающих скобки, деление, умножение, действие с дробями и так далее.
Как находить значение выражения правильно
Чтобы верно найти значение выражения необходимо выполнять вычисления согласно определенному порядку действий. Этот порядок преподается еще на уроках математики, а позже – на занятиях алгебры в начальной школе. Он также известен как ступени арифметических действий.
Ступени арифметических действий:
- Первая ступень – выполняется сложение и вычитание чисел.
- Вторая ступень – выполняется деление и умножение.
- Третья ступень – числа возводятся в квадрат или куб.
Соблюдая следующие правила, вы всегда сможете верно определить значение выражения:
- Выполняйте действия, начиная с третьей ступени, заканчивая первой, если в примере нет скобок. То есть сперва возводите в квадрат или куб, затем делите или умножайте и только потом – складывайте и вычитайте.
- В конструкциях со скобками сперва выполняйте действия в скобках, а затем руководствуйтесь вышеописанным порядком. Если скобок несколько, также используйте порядок действий из первого пункта.
- В примерах в виде дроби сначала узнайте результат в числителе, затем – в знаменателе, после чего первый поделите на второй.
Найти значение выражения не составит труда, если усвоить элементарные знания начальных курсов алгебры и математики. Руководствуясь вышеописанной информацией, вы сможете решить любую задачу, даже повышенной сложности.
Узнать пароль от ВК, зная логин
Вы, как родители, в процессе обучения своего ребенка, не раз столкнетесь с необходимостью помощи в решении домашних задач по математике, алгебре и геометрии. И одно из базовых умений, которое необходимо усвоить — как найти значение выражения. Многие заходят в тупик, ведь сколько лет прошло с того момента, как мы учились в 3-5 классах? Многое уже забылось, а что-то не училось. Сами правила математических действий - просты и вы легко их вспомните. Начнем с самых основ, что такое математическое выражение.
Определение выражения
Математическое выражение - совокупность чисел, знаков действий (=, +,-, *, /), скобок, переменных. Кратко - это формула, значение которой нужно будет найти. Такие формулы как раз встречаются в курсе математики еще со школы, а потом преследуют и студентов, которые выбрали для себя специальности, связанные с точными науками. Математические выражения разделяются на тригонометрические, алгебраические и так далее, не будем забегать в самые «дебри».
- Делайте любые вычисления сначала на черновике, а после переписывайте в рабочую тетрадь. Таким образом вы избежите лишних перечеркиваний и грязи;
- Пересчитайте общее количество математических действий, которые нужно будет выполнить в выражении. Обратите внимание, что согласно правилам, вначале выполняются действия в скобках, потом деление и умножение и в самом конце вычитание и сложение. Рекомендуем выделить все действия карандашом и поставить цифры над действиями в порядке очередности их выполнения. В этом случае и вам и ребенку будет легче сориентироваться;
- Начинайте производить расчеты строго придерживаясь порядка выполнения действий. Пусть ребенок, если расчет простой, старается выполнять его в уме, если же это сложно, то ставьте карандашом цифру, соответствующую порядковому номеру выражения и выполняйте вычисление в письменном виде под формулой;
- Как правило, найти значение простого выражения не составляет труда, если все расчеты выполнены в соответствии с правилами и правильным порядком. Большинство сталкиваются с проблемой именно на данном этапе нахождения значения выражения, потому будьте внимательны и не допускайте ошибок;
- Запрещайте калькулятор. Сами математические формулы и задачи в жизни вашему ребенка может и не пригодятся, но не в этом цель изучения предмета. Главное - развитие логическое мышления. Если пользоваться калькуляторами, то смысл всего будет потерян;
- Ваша задача как родителя - не решать за ребенка задачи, а помогать ему в этом, направлять. Пусть он сам производит все вычисления, а вы следите за тем, чтобы он не допускал ошибок, объясняйте, почему нужно делать так, а не иначе.
- После того, как ответ на выражение найден, запишите его после знака «=»;
- Откройте последнюю страницу учебника по математике. Обычно, там есть ответы под каждое упражнение в книге. Не мешает свериться, верно ли все посчитано.
Найти значение выражения - с одной стороны, простая процедура, главное вспомнить основные правила, которые мы проходили в школьном курсе математики. Однако, с другой стороны, когда вам нужно помочь малышу справиться с формулами и решением задач, вопрос осложняется. Ведь вы теперь не ученик, а учитель и на ваших плечах лежит воспитание будущего Эйнштейна.
Надеемся, что наша статья помогла вам найти ответ на вопрос, как найти значение выражения, и вы с легкостью раскусите любую формулу!
