Рекурсия — это свойство объекта подражать самому себе. Объект является рекурсивным если его части выглядят также как весь объект. Рекурсия очень широко применяется в математике и программировании:
- структуры данных:
- граф (в частности деревья и списки) можно рассматривать как совокупность отдельного узла и подграфа (меньшего графа);
- строка состоит из первого символа и подстроки (меньшей строки);
- шаблоны проектирования, например . Объект декоратора может включать в себя другие объекты, также являющиеся декораторами. Детально рекурсивные шаблоны изучил Мак-Колм Смит, выделив в своей книге общий шаблон проектирования — Recursion ;
- рекурсивные функции (алгоритмы) выполняют вызов самих себя.
Статья посвящена анализу трудоемкости рекурсивных алгоритмов, приведены необходимые математические сведения, рассмотрены примеры. Кроме того, описана возможность замены рекурсии циклом, хвостовая рекурсия.
Примеры рекурсивных алгоритмов
Рекурсивный алгоритм всегда разбивает задачу на части, которые по своей структуре являются такими же как исходная задача, но более простыми. Для решения подзадач функция вызывается рекурсивно, а их результаты каким-либо образом объединяются. Разделение задачи происходит лишь тогда, когда ее не удается решить сразу (она является слишком сложной).
Например, задачу обработки массива нередко можно свести к обработке его частей. Деление на части выполняется до тех пор, пока они не станут элементарными, т.е. достаточно простыми чтобы получить результат без дальнейшего упрощения.
Поиск элемента массива
начало; search(array, begin, end, element) ; выполняет поиск элемента со значением element в массиве array между индексами begin и end если begin > end результат:= false; элемент не найден иначе если array = element результат:= true; элемент найден иначе результат:= search(array, begin+1, end, element) конец; вернуть результатАлгоритм делит исходный массив на две части — первый элемент и массив из остальных элементов. Выделяется два простых случая, когда разделение не требуется — обработаны все элементы или первый элемент является искомым.
В алгоритме поиска разделять массив можно было бы и иначе (например пополам), но это не сказалось бы на эффективности. Если массив отсортирован — то его деление пополам целесообразно, т.к. на каждом шаге количество обрабатываемых данных можно сократить на половину.
Двоичный поиск в массиве
Двоичный поиск выполняется над отсортированным массивом. На каждом шаге искомый элемент сравнивается со значением, находящимся посередине массива. В зависимости от результатов сравнения либо левая, либо правая части могут быть «отброшены».
Начало; binary_search(array, begin, end, element) ; выполняет поиск элемента со значением element ; в массиве упорядоченном по возрастанию массиве array ; между индексами begin и end если begin > end конец; вернуть false - элемент не найден mid:= (end + begin) div 2; вычисление индекса элемента посередине рассматриваемой части массива если array = element конец; вернуть true (элемент найден) если array < element результат:= binary_search(array, mid+1, end, element) иначе результат:= binary_search(array, begin, mid, element) конец; вернуть результат
Вычисление чисел Фибоначчи
Числа Фибоначчи определяются рекуррентным выражением, т.е. таким, что вычисление элемента которого выражается из предыдущих элементов: \(F_0 = 0, F_1 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, n > 2\).
Начало; fibonacci(number) если number = 0 конец; вернуть 0 если number = 1 конец; вернуть 1 fib_1:= fibonacci(number-1) fib_2:= fibonacci(number-2) результат:= fib_1 + fib_2 конец; вернуть результат
Быстрая сортировка (quick sort)
Алгоритм быстрой сортировки на каждом шаге выбирает один из элементов (опорный) и относительно него разделяет массив на две части, которые обрабатываются рекурсивно. В одну часть помещаются элементы меньше опорного, а в другую — остальные.
Блок-схема алгоритма быстрой сортировки
Сортировка слиянием (merge sort)
В основе алгоритма сортировки слиянием лежит возможность быстрого объединения упорядоченных массивов (или списков) так, чтобы результат оказался упорядоченным. Алгоритм разделяет исходный массив на две части произвольным образом (обычно пополам), рекурсивно сортирует их и объединяет результат. Разделение происходит до тех пор, пока размер массива больше единицы, т.к. пустой массив и массив из одного элемента всегда отсортированы.
Блок схема сортировки слиянием На каждом шаге слияния из обоих списков выбирается первый необработанный элемент. Элементы сравниваются, наименьший из них добавляется к результату и помечается как обработанный. Слияние происходит до тех пор, пока один из списков не окажется пуст.
Начало; merge(Array1, Size1, Array2, Size2) ; исходные массивы упорядочены; в результат формируется упорядоченный массив длины Size1+Size2 i:= 0, j:= 0 вечный_цикл если i >= Size1 дописать элементы от j до Size2 массива Array2 в конец результата выход из цикла если j >= Size2 дописать элементы от i до Size1 массива Array1 в конец результата выход из цикла если Array1[i] < Array2[j] результат := Array1[i] i:= i + 1 иначе (если Array1[i] >= Array2[j]) результат := Array2[j] j:= j + 1 конец; вернуть результат
Анализ рекурсивных алгоритмов
При рассчитывается трудоемкость итераций и их количество в наихудшем, наилучшем и среднем случаях . Однако не получится применить такой подход к рекурсивной функции, т.к. в результате будет получено рекуррентное соотношение. Например, для функции поиска элемента в массиве:
\(
\begin{equation*}
T^{search}_n = \begin{cases}
\mathcal{O}(1) \quad &\text{$n = 0$} \\
\mathcal{O}(1) + \mathcal{O}(T^{search}_{n-1}) \quad &\text{$n > 0$}
\end{cases}
\end{equation*}
\)
Рекуррентные отношения не позволяют нам оценить сложность — мы не можем их просто так сравнивать, а значит, и сравнивать эффективность соответствующих алгоритмов. Необходимо получить формулу, которая опишет рекуррентное отношение — универсальным способом сделать это является подбор формулы при помощи метода подстановки, а затем доказательство соответствия формулы отношению методом математической индукции.
Метод подстановки (итераций)
Заключается в последовательной замене рекуррентной части в выражении для получения новых выражений. Замена производится до тех пор, пока не получится уловить общий принцип и выразить его в виде нерекуррентной формулы. Например для поиска элемента в массиве:
\(
T^{search}_n = \mathcal{O}(1) + \mathcal{O}(T^{search}_{n-1}) =
2\times\mathcal{O}(1) + \mathcal{O}(T^{search}_{n-2}) =
3\times\mathcal{O}(1) + \mathcal{O}(T^{search}_{n-3})
\)
Можно предположить, что \(T^{search}_n = T^{search}_{n-k} + k\times\mathcal{O}(1)\), но тогда \(T^{search}_n = T^{search}_{0} + n\times\mathcal{O}(1) = \mathcal{O}(n)\).
Мы вывели формулу, однако первый шаг содержит предположение, т.е. не имеется доказательства соответствия формулы рекуррентному выражению — получить доказательство позволяет метод математической индукции.
Метод математической индукции
Позволяет доказать истинность некоторого утверждения (\(P_n\)), состоит из двух шагов:
- доказательство утверждения для одного или нескольких частных случаев \(P_0, P_1, …\);
- из истинности \(P_n\) (индуктивная гипотеза) и частных случаев выводится доказательство \(P_{n+1}\).
Докажем корректность предположения, сделанного при оценки трудоемкости функции поиска (\(T^{search}_n = (n+1)\times\mathcal{O}(1)\)):
- \(T^{search}_{1} = 2\times\mathcal{O}(1)\) верно из условия (можно подставить в исходную рекуррентную формулу);
- допустим истинность \(T^{search}_n = (n+1)\times\mathcal{O}(1)\);
- требуется доказать, что \(T^{search}_{n+1} = ((n+1)+1)\times\mathcal{O}(1) = (n+2)\times\mathcal{O}(1)\);
- подставим \(n+1\) в рекуррентное соотношение: \(T^{search}_{n+1} = \mathcal{O}(1) + T^{search}_n\);
- в правой части выражения возможно произвести замену на основании индуктивной гипотезы: \(T^{search}_{n+1} = \mathcal{O}(1) + (n+1)\times\mathcal{O}(1) = (n+2)\times\mathcal{O}(1)\);
- утверждение доказано.
Часто, такое доказательство — достаточно трудоемкий процесс, но еще сложнее выявить закономерность используя метод подстановки. В связи с этим применяется, так называемый, общий метод .
Общий (основной) метод решения рекуррентных соотношений
Общий метод не является универсальным, например с его помощью невозможно провести оценку сложности приведенного выше алгоритма вычисления чисел Фибоначчи. Однако, он применим для всех случаев использования подхода «разделяй и властвуй» :
\(T_n = a\cdot T(\frac{n}{b})+f_n; a, b = const, a \geq 1, b > 1, f_n > 0, \forall n\).
Уравнения такого вида получаются если исходная задача разделяется на a подзадач, каждая из которых обрабатывает \(\frac{n}{b}\) элементов. \(f_n\) — трудоемкость операций разбиения задачи на части и комбинирование решений. Помимо вида соотношения, общий метод накладывает ограничения на функцию \(f_n\), выделяя три случая:
- \(\exists \varepsilon > 0: f_n = \mathcal{O}(n^{\log_b a — \varepsilon}) \Rightarrow T_n = \Theta(n^{\log_b a})\);
- \(f_n = \Theta(n^{\log_b a}) \Rightarrow T_n = \Theta(n^{\log_b a} \cdot \log n)\);
- \(\exists \varepsilon > 0, c < 1: f_n = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon}), f_{\frac{n}{b}} \leq c \cdot f_n \Rightarrow T_n = \Theta(f_n)\).
Правильность утверждений для каждого случая доказана формально . Задача анализа рекурсивного алгоритма теперь сводится к определению случая основной теоремы, которому соответствует рекуррентное соотношение.
Анализ алгоритма бинарного поиска
Алгоритм разбивает исходные данные на 2 части (b = 2), но обрабатывает лишь одну из них (a = 1), \(f_n = 1\). \(n^{\log_b a} = n^{\log_2 1} = n^0 = 1\). Функция разделения задачи и компоновки результата растет с той же скоростью, что и \(n^{\log_b a}\), значит необходимо использовать второй случай теоремы:
\(T^{binarySearch}_n = \Theta(n^{\log_b a} \cdot \log n) = \Theta(1 \cdot \log n) = \Theta(\log n)\).
Анализ алгоритма поиска
Рекурсивная функция разбивает исходную задачу на одну подзадачу (a = 1), данные делятся на одну часть (b = 1). Мы не можем использовать основную теорему для анализа этого алгоритма, т.к. не выполняется условие \(b > 1\).
Для проведения анализа может использоваться метод подстановки или следующие рассуждения: каждый рекурсивный вызов уменьшает размерность входных данных на единицу, значит всего их будет n штук, каждый из которых имеет сложность \(\mathcal{O}(1)\). Тогда \(T^{search}_n = n \cdot \mathcal{O}(1) = \mathcal{O}(n)\).
Анализ алгоритма сортировки слиянием
Исходные данные разделяются на две части, обе из которых обрабатываются: \(a = 2, b = 2, n^{\log_b a} = n\).
При обработке списка, разделение может потребовать выполнения \(\Theta(n)\) операций, а для массива — выполняется за постоянное время (\(\Theta(1)\)). Однако, на соединение результатов в любом случае будет затрачено \(\Theta(n)\), поэтому \(f_n = n\).
Используется второй случай теоремы: \(T^{mergeSort}_n = \Theta(n^{\log_b a} \cdot \log n) = \Theta(n \cdot \log n)\).
Анализ трудоемкости быстрой сортировки
В лучшем случае исходный массив разделяется на две части, каждая из которых содержит половину исходных данных. Разделение потребует выполнения n операций. Трудоемкость компоновки результата зависит от используемых структур данных — для массива \(\mathcal{O}(n)\), для связного списка \(\mathcal{O}(1)\). \(a = 2, b = 2, f_n = b\), значит сложность алгоритма будет такой же как у сортировки слиянием: \(T^{quickSort}_n = \mathcal{O}(n \cdot \log n)\).
Однако, в худшем случае в качестве опорного будет постоянно выбираться минимальный или максимальный элемент массива. Тогда \(b = 1\), а значит, мы опять не можем использовать основную теорему. Однако, мы знаем, что в этом случае будет выполнено n рекурсивных вызовов, каждый из которых выполняет разделение массива на части (\(\mathcal{O}(n)\)) — значит сложность алгоритма \(T^{quickSort}_n = \mathcal{O}(n^2)\).
При анализе быстрой сортировки методом подстановки, пришлось бы также рассматривать отдельно наилучший и наихудший случаи.
Хвостовая рекурсия и цикл
Анализ трудоемкости рекурсивных функций значительно сложнее аналогичной оценки циклов, но основной причиной, по которой циклы предпочтительнее являются высокие затраты на вызов функции.
После вызова управление передается другой функции. Для передачи управления достаточно изменить значение регистра программного счетчика, в котором процессор хранит номер текущей выполняемой команды — аналогичным образом передается управление ветвям алгоритма, например, при использовании условного оператора. Однако, вызов — это не только передача управления, ведь после того, как вызванная функция завершит вычисления, она должна вернуть управление в точку, и которой осуществлялся вызов, а также восстановить значения локальных переменных, которые существовали там до вызова.
Для реализации такого поведения используется стек (стек вызовов, call stack) — в него помещаются номер команды для возврата и информация о локальных переменных. Стек не является бесконечным, поэтому рекурсивные алгоритмы могут приводить к его переполнению, в любом случае на работу с ним может уходить значительная часть времени.
В ряде случаев рекурсивную функцию достаточно легко заменить циклом, например, рассмотренные выше . В некоторых случаях требуется более творческий подход, но чаще всего такая замена оказывается возможной. Кроме того, существует особый вид рекурсии, когда рекурсивный вызов является последней операцией, выполняемой функцией. Очевидно, что в таком случае вызывающая функция не будет каким-либо образом изменять результат, а значит ей нет смысла возвращать управление. Такая рекурсия называется хвостовой — компиляторы автоматически заменяют ее циклом.
Зачастую сделать рекурсию хвостовой помогает метод накапливающего параметра
, который заключается в добавлении функции дополнительного аргумента-аккумулятора, в котором накапливается результат. Функция выполняет вычисления с аккумулятором до рекурсивного вызова. Хорошим примером использования такой техники служит функция вычисления факториала:
\(fact_n = n \cdot fact(n-1) \\
fact_3 = 3 \cdot fact_2 = 3 \cdot (2 \cdot fact_1) = 3\cdot (2 \cdot (1 \cdot fact_0)) = 6 \\
fact_n = factTail_{n, 1} \\
\\
factTail_{n, accumulator} = factTail(n-1, accumulator \cdot n)\\
factTail_{3, 1} = factTail_{2, 3} = factTail_{1, 6} = factTail_{0, 6} = 6
\)
В качестве более сложного примера рассмотрим функцию вычисления чисел Фибоначчи. Основная функция вызывает вспомогательную,использующую метод накапливающего параметра, при этом передает в качестве аргументов начальное значение итератора и два аккумулятора (два предыдущих числа Фибоначчи).
Начало; fibonacci(number) вернуть fibonacci(number, 1, 1, 0) конец начало; fibonacci(number, iterator, fib1, fib2) если iterator == number вернуть fib1 вернуть fibonacci(number, iterator + 1, fib1 + fib2, fib1) конец
Функция с накапливающим параметром возвращает накопленный результат, если рассчитано заданное количество чисел, в противном случае — увеличивает счетчик, рассчитывает новое число Фибоначчи и производит рекурсивный вызов. Оптимизирующие компиляторы могут обнаружить, что результат вызова функции без изменений передается на выход функции и заменить его циклом. Такой прием особенно актуален в функциональных и логических языках программирования, т.к. в них программист не может явно использовать циклические конструкции.
Литература
- Многопоточный сервер Qt. Пул потоков. Паттерн Decorator[Электронный ресурс] – режим доступа : https://сайт/archives/1390. Дата обращения: 21.02.2015.
- Джейсон Мак-Колм Смит : Пер. с англ. - М. : ООО “И.Д. Вильямс”, 2013. - 304 с.
- Скиена С. Алгоритмы. Руководство по разработке.-2-е изд.: пер. с англ.-СПб.:БХВ-Петербург, 2011.-720с.: ил.
- Васильев В. С. Анализ сложности алгоритмов. Примеры [Электронный ресурс] – режим доступа: https://сайт/archives/1660. Дата обращения: 21.02.2015.
- А.Ахо, Дж.Хопкрофт, Дж.Ульман, Структуры данных и алгоритмы, М., Вильямс, 2007.
- Миллер, Р. Последовательные и параллельные алгоритмы: Общий подход / Р. Миллер, Л. Боксер; пер. с англ. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 406 с.
- Сергиевский Г.М. Функциональное и логическое программирование: учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений / Г.М. Сергиевский, Н.Г. Волченков. - М.: Издательский центр «Академия», 2010.- 320с.
Рекурсия достаточно распространённое явление, которое встречается не только в областях науки, но и в повседневной жизни. Например, эффект Дросте, треугольник Серпинского и т. д. Самый простой вариант увидеть рекурсию – это навести Web-камеру на экран монитора компьютера, естественно, предварительно её включив. Таким образом, камера будет записывать изображение экрана компьютера, и выводить его же на этот экран, получится что-то вроде замкнутого цикла. В итоге мы будем наблюдать нечто похожее на тоннель.
В программировании рекурсия тесно связана с функциями, точнее именно благодаря функциям в программировании существует такое понятие как рекурсия или рекурсивная функция. Простыми словами, рекурсия – определение части функции (метода) через саму себя, то есть это функция, которая вызывает саму себя, непосредственно (в своём теле) или косвенно (через другую функцию). Типичными рекурсивными задачами являются задачи: нахождения n!, числа Фибоначчи. Такие задачи мы уже решали, но с использованием циклов, то есть итеративно. Вообще говоря, всё то, что решается итеративно можно решить рекурсивно, то есть с использованием рекурсивной функции. Всё решение сводится к решению основного или, как ещё его называют, базового случая. Существует такое понятие как шаг рекурсии или рекурсивный вызов. В случае, когда рекурсивная функция вызывается для решения сложной задачи (не базового случая) выполняется некоторое количество рекурсивных вызовов или шагов, с целью сведения задачи к более простой. И так до тех пор пока не получим базовое решение. Разработаем программу, в которой объявлена рекурсивная функция, вычисляющая n!
"stdafx.h"
#include
// код Code::Blocks
// код Dev-C++
// factorial.cpp: определяет точку входа для консольного приложения.
#include
В строках 7, 9, 21 объявлен тип данных unsigned long int , так как значение факториала возрастает очень быстро, например уже 10! = 3 628 800. Если не хватит размера типа данных, то в результате мы получим совсем не правильное значение. В коде объявлено больше операторов, чем нужно, для нахождения n!. Это сделано для того, чтобы, отработав, программа показала, что происходит на каждом шаге рекурсивных вызовов. Обратите внимание на выделенные строки кода, строки 23, 24, 28 — это рекурсивное решение n!. Строки 23, 24 являются базовым решением рекурсивной функции, то есть, как только значение в переменной f будет равно 1 или 0 (так как мы знаем, что 1! = 1 и 0! = 1), прекратятся рекурсивные вызовы, и начнут возвращаться значения, для каждого рекурсивного вызова. Когда вернётся значение для первого рекурсивного вызова, программа вернёт значение вычисляемого факториала. В строке 28 функция factorial() вызывает саму себя, но уже её аргумент на единицу меньше. Аргумент каждый раз уменьшается, чтобы достичь частного решения. Результат работы программы (см. Рисунок 1).
Enter n!: 5 Step 1 Result= 0 Step 2 Result= 0 Step 3 Result= 0 Step 4 Result= 0 5!=120
Рисунок 1 — Рекурсия в С++
По результату работы программы хорошо виден каждый шаг и результат на каждом шаге равен нулю, кроме последнего рекурсивного обращения. Необходимо было вычислить пять факториал. Программа сделала четыре рекурсивных обращения, на пятом обращении был найден базовый случай. И как только программа получила решение базового случая, она порешала предыдущие шаги и вывела общий результат. На рисунке 1 видно всего четыре шага потому, что на пятом шаге было найдено частное решение, что в итоге вернуло конечное решение, т. е. 120. На рисунке 2 показана схема рекурсивного вычисления 5!. В схеме хорошо видно, что первый результат возвращается, когда достигнуто частное решение, но никак не сразу, после каждого рекурсивного вызова.
Рисунок 2 — Рекурсия в С++
Итак, чтобы найти 5! нужно знать 4! и умножить его на 5; 4! = 4 * 3! и так далее. Согласно схеме, изображённой на рисунке 2, вычисление сведётся к нахождению частного случая, то есть 1!, после чего по очереди будут возвращаться значения каждому рекурсивному вызову. Последний рекурсивный вызов вернёт значение 5!.
Переделаем программу нахождения факториала так, чтобы получить таблицу факториалов. Для этого объявим цикл for , в котором будем вызывать рекурсивную функцию.
// код Code::Blocks // код Dev-C++ // fibonacci.cpp: определяет точку входа для консольного приложения.
#include // код Code::Blocks // код Dev-C++ // hanoi_tower.cpp: определяет точку входа для консольного приложения.
// Программа, рекурсивно решающая задачу "Ханойская башня"
#include На рисунке 5 показан пример работы рекурсивной программы Ханойская башня. Сначала мы ввели количество дисков равное трём, потом ввели базовый стержень (первый), и обозначили конечный стержень (третий). Автоматически второй стержень стал вспомогательным. Программа выдала такой результат, что он полностью совпадает с анимационным решением данной задачи. Enter of numbers of disks: 3
Enter the number of basic rod: 1
Enter the number of final rod: 3
1) 1 -> 3
2) 1 -> 2
3) 3 -> 2
4) 1 -> 3
5) 2 -> 1
6) 2 -> 3
7) 1 -> 3 Рисунок 5 — Рекурсия в С++ Из рисунка видно, что сначала перемещается диск со стержня один на стержень три, потом со стержня один на стержень два, со стержня три на стержень
два и т. д. То есть программа всего лишь выдает последовательность перемещений дисков и минимальное количество шагов, за которые будут перемещены все диски.
Все эти задачи можно было решить итеративно. Возникает вопрос: “Как лучше решать, итеративно или рекурсивно?”. Отвечаю: “Недостаток рекурсии в том, что она затрачивает значительно больше компьютерных ресурсов, нежели итерация. Это выражается в большой нагрузке, как на оперативную память, так и на процессор. Если очевидно решение той или иной задачи итеративным способом, то им и надо воспользоваться иначе, использовать рекурсию!” В зависимости от решаемой задачи сложность написания программ изменяется при использовании того или иного метода решения. Но чаще задача, решённая рекурсивным методом с точки зрения читабельности кода, куда понятнее и короче. Под этим словом подразумевается процесс, обозначающий повторение одних и тех же элементов «самоподобным образом». Достойный пример такого процесса — русская матрешка, и если бы не предел возможностей, то такая бы игрушка повторяла себя до бесконечности. В программировании под этим термином понимается процесс вызова функцией саму себя, либо вызов таковой изнутри. Естественно, рекурсивные вызовы должны иметь вполне выполнимые условия завершения, иначе программа с другими условиями зависнет и наступит аварийное завершение с наличием переполненного стека. Примером математической рекурсии может служить уже всем изрядно надоевший пример — вычисление факториала. В действительности рекурсия в веб-программировании применяется довольно таки часто, а все потому, что рекурсия – это единственный вариант обхода любой стандартной структуры, когда точно не знают о ее реальных размерах и глубине вложения. Без нее также не обходится и построение графов. Это классический вариант. Чтобы убедиться в необходимости этого процесса, стоит попробовать построить карту сайта с разделами по иерархической структуре вложенных списков. Это будет нереально, если вы не ограничитесь заранее ее размерами и глубиной вложения. Но если, все-таки вы соорудите нечто подобное, то поймете, что в какой-то момент вся ваша конструкция зависнет и перестанет работать. Рекурсия в поисковых системах
Поисковые системы также зависят от рекурсии. Именно с того момента, когда был введен критерий авторитетности сайтов измерять количеством ссылок, поисковые системы также попались в эти сети. Ссылочная «масса» сайта складывается из мелких кусочков «масс» всех тех ресурсов, которые на него ссылаются. Чтобы высчитать этот показатель для одного сайта, необходимо просчитать «массу» всех ссылочных вариантов, которые в свою очередь состоят из других таких же компонентов, и так далее, по всей глубине поисковой сети. Вот вам и рекурсия на практике. Рекурсивный PageRank oт Google
Такое имя носит алгоритм расчета, созданный и опубликованный Google. Этот алгоритм известен уже давно, но сколько бы раз он не преобразовывался и не дополнялся всевозможными усовершенствованиями, в основе лежит все тот же рекурсивный метод. Суть всегда остается одна и та же: расчеты, перерасчеты и еще раз перерасчеты. В результате получается опять та же функция. Рекурсивный тИЦ от Яндекса
ТИЦ, созданный Яндексом, имеет точно такое же устройство, как и предыдущий алгоритм. Отличие заключается лишь в том, что он считается для всего сайта в целом, а не для каждой отдельной страницы. Именно поэтому поисковой системе Яндекс живется гораздо вольготнее, чем остальным, так как самих сайтов в разы меньше, чем страниц и пересчитать их намного легче. Однако этот показатель на выдачу в Яндексе не влияет. Для этих целей у него есть глубоко спрятанный ВИЦ, который является аналогом PageRank. Так что объем подсчетов у Яндекс также немалый. Рекурсивный алгоритм расчета, основанный на ссылочном весе, показал, что два сайта, имеющие ссылки друг на друга обладают нереально высоким весом. Поэтому сразу же, после публикации алгоритма PageRank, оптимизаторы приступили к раскручиванию рекурсивной линковки. Проведенные эксперименты подтвердили, что применяемый метод имеет эффективный результат. Пожалуйста, зарегистрируйтесь для комментирования.
Здравствуй Хабрахабр! В этой статье речь пойдет о задачах на рекурсию и о том как их решать. В программировании рекурсия тесно связана с функциями, точнее именно благодаря функциям в программировании существует такое понятие как рекурсия или рекурсивная функция. Простыми словами, рекурсия – определение части функции (метода) через саму себя, то есть это функция, которая вызывает саму себя, непосредственно (в своём теле) или косвенно (через другую функцию). О рекурсии сказано много. Вот несколько хороших ресурсов: из сети
Любой алгоритм, реализованный в рекурсивной форме, может быть переписан в итерационном виде и наоборот. Останется вопрос, надо ли это, и насколько это будет это эффективно. Для обоснования можно привести такие доводы. Для начала можно вспомнить определение рекурсии и итерации. Рекурсия - это такой способ организации обработки данных, при котором программа вызывает сама себя непосредственно, либо с помощью других программ. Итерация - это способ организации обработки данных, при котором определенные действия повторяются многократно, не приводя при этом к рекурсивным вызовам программ. После чего можно сделать вывод, что они взаимно заменимы, но не всегда с одинаковыми затратами по ресурсам и скорости. Для обоснования можно привести такой пример: имеется функция, в которой для организации некого алгоритма имеется цикл, выполняющий последовательность действий в зависимости от текущего значения счетчика (может от него и не зависеть). Раз имеется цикл, значит, в теле повторяется последовательность действий - итерации цикла. Можно вынести операции в отдельную подпрограмму и передавать ей значение счетчика, если таковое есть. По завершению выполнения подпрограммы мы проверяем условия выполнения цикла, и если оно верно, переходим к новому вызову подпрограммы, если ложно - завершаем выполнение. Т.к. все содержание цикла мы поместили в подпрограмму, значит, условие на выполнение цикла помещено также в подпрограмму, и получить его можно через возвращающее значение функции, параметры передающееся по ссылке или указателю в подпрограмму, а также глобальные переменные. Далее легко показать, что вызов данной подпрограммы из цикла легко переделать на вызов, или не вызов (возврата значения или просто завершения работы) подпрограммы из нее самой, руководствуясь какими-либо условиями (теми, что раньше были в условии цикла). Теперь, если посмотреть на нашу абстрактную программу, она примерно выглядит как передача значений подпрограмме и их использование, которые изменит подпрограмма по завершению, т.е. мы заменили итеративный цикл на рекурсивный вызов подпрограммы для решения данного алгоритма. Задача по приведению рекурсии к итеративному подходу симметрична. Подводя итог, можно выразить такие мысли: для каждого подхода существует свой класс задач, который определяется по конкретным требованиям к конкретной задаче. Более подробно с этим можно познакомиться Итак рекурсивная функция состоит из Public class Solution {
public static int recursion(int n) {
// условие выхода
// Базовый случай
// когда остановиться повторять рекурсию?
if (n == 1) {
return 1;
}
// Шаг рекурсии / рекурсивное условие
return recursion(n - 1) * n;
}
public static void main(String args) {
System.out.println(recursion(5)); // вызов рекурсивной функции
}
}
Тут Базовым условием является условие когда n=1. Так как мы знаем что 1!=1 и для вычисления 1! нам ни чего не нужно. Чтобы вычислить 2! мы можем использовать 1!, т.е. 2!=1!*2. Чтобы вычислить 3! нам нужно 2!*3… Чтобы вычислить n! нам нужно (n-1)!*n. Это и является шагом рекурсии. Иными словами, чтобы получить значение факториала от числа n, достаточно умножить на n значение факториала от предыдущего числа. Теги:
Рекурсивный алгоритм
Реку́рсия
- метод определения класса объектов или методов предварительным заданием одного или нескольких (обычно простых) его базовых
случаев или методов, а затем заданием на их основе правила построения определяемого класса, ссылающегося прямо или косвенно на эти базовые случаи. Другими словами, рекурсия - способ общего определения объекта или действия через себя, с использованием ранее заданных частных определений. Рекурсия используется, когда можно выделить самоподобие задачи. Алгоритм по передвижению башни, алгоритм передвинет нужное количество дисков из пирамиды «источник» на пирамиду «задание» используя «запасную» пирамиду. Если число дисков равно одному, тогда: В противном случае: Class
element_of_list
{
element_of_list *next; /* ссылка на следующий элемент того же типа */
int
data; /* некие данные */
}
; Рекурсивная структура данных зачастую обуславливает применение рекурсии для обработки этих данных. Классическим примером бесконечной рекурсии являются два поставленные друг напротив друга зеркала : в них образуются два коридора из затухающих отражений зеркал. Другим примером бесконечной рекурсии является эффект самовозбуждения (положительной обратной связи) у электронных схем усиления, когда сигнал с выхода попадает на вход, усиливается, снова попадает на вход схемы и снова усиливается. Усилители, для которых такой режим работы является штатным, называются автогенераторы . Способность языка порождать вложенные предложения и конструкции. Базовое предложение кошка съела мышь
может быть за счет рекурсии расширено как Ваня догадался, что кошка съела мышь
, далее как Катя знает, что Ваня догадался, что кошка съела мышь
и так далее. Рекурсия считается одной из лингвистических универсалий , то есть свойственна любому естественному языку (хотя в последнее время активно обсуждается возможное отсутствие рекурсии в одном из языков Амазонии - пираха, которое отмечает лингвист Д. Эверетт). О рекурсии в лингвистике, ее разновидностях и наиболее характерных проявлениях в русском языке описано в статье Е.А.Лодатко "Рекурсивные лингвистические структуры" (см.: Рекурсивные лингвистические структуры) Большая часть всех шуток о рекурсии касается бесконечной рекурсии, в которой нет условия выхода. Известные высказывания: "Чтобы понять рекурсию, нужно сначала понять рекурсию", "Чтобы что-то сделать, надо что-то сделать", "Для приготовления салата необходимы: огурцы, помидоры, салат". Весьма популярна шутка о рекурсии, напоминающая словарную статью: Несколько рассказов Станислава Лема посвящены (возможным) казусам при бесконечной рекурсии: Русская народная сказка-песня «У попа была собака…» являет пример рекурсии: У попа была собака, он её любил,
"У попа была собака, он её любил,
Она съела кусок мяса, он её убил,
В землю закопал,
Надпись написал:
"У попа была собака, он её любил,
Она съела кусок мяса, он её убил,
В землю закопал,
Надпись написал:
… Wikimedia Foundation
.
2010
.
рекурсивный алгоритм
- rekursyvusis algoritmas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. recursive algorithm vok. rekursiver Algorithmus, m rus. рекурсивный алгоритм, m pranc. algorithme récursif, m … Automatikos terminų žodynas
рекурсивный алгоритм управления
- rekursyvusis valdymo algoritmas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. recursive control algorithm vok. rekursiver Regelungs od. Steuerungs algorithmus, m rus. рекурсивный алгоритм управления, m pranc. algorithme de réglage récurrent, m … Automatikos terminų žodynas
Это алгоритм для упорядочения элементов в списке. В случае, когда элемент списка имеет несколько полей, поле, служащее критерием порядка, называется ключом сортировки. На практике в качестве ключа часто выступает число, а в остальных полях… … Википедия
Рекурсивный акроним акроним (иногда бэкроним), который ссылается на себя. В среде компьютерных хакеров стало традиционным выбирать акронимы и аббревиатуры, которые косвенно или напрямую ссылаются на себя. Одним из самых ранних примеров… … Википедия
- (англ. Recursive descent parser) алгоритм синтаксического анализа, реализуемый путём взаимного вызова парсящих процедур, соответствующих правилам контекстно свободной грамматики или БНФ. Применения правил последовательно, слева направо … Википедия
Рекурсивный способ создания режущей сетки с целью разбиения множества двумерных полигонов, содержащих острова, на безостровные участки. Может применяться в геоинформационных системах для преобразования островных полигонов в безостровные. Связать? … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Алгоритм (значения). Для улучшения этой статьи желательно?: Переработать оформление в соответствии с правил … Википедия
Алгоритмы поиска на графах A* B* Алгоритм Беллмана Форда Двунаправленный поиск Алгоритм Дейкстры Алгоритм Джонсона Поиск в ширину Поиск в глубину Поиск с ограничением глубины Поиск по первому наилучшему совпадению Алгоритм Флойда Уоршелла Поиск… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Ppm. PPM (англ. Prediction by Partial Matching предсказание по частичному совпадению) адаптивный статистический алгоритм сжатия данных без потерь, основанный на контекстном… … Википедия
Исходя из технических причин, рекурсия все-таки величина конечная.
Прокомментировать эту статью:
Кратко о рекурсии
Рекурсия достаточно распространённое явление, которое встречается не только в областях науки, но и в повседневной жизни. Например, эффект Дросте, треугольник Серпинского и т. д. Один из вариантов увидеть рекурсию – это навести Web-камеру на экран монитора компьютера, естественно, предварительно её включив. Таким образом, камера будет записывать изображение экрана компьютера, и выводить его же на этот экран, получится что-то вроде замкнутого цикла. В итоге мы будем наблюдать нечто похожее на тоннель.
Предполагается что читатель теоритически знаком с рекурсией и знает что это такое. В данной статье мы бóльшее вниманиее уделим задачам на рекурсию.Задачи
При изучении рекурсии наиболее эффективным для понимания рекурсии является решение задач. Как же решать задачи на рекурсию?
В первую очередь надо понимать что рекурсия это своего рода перебор. Вообще говоря, всё то, что решается итеративно можно решить рекурсивно, то есть с использованием рекурсивной функции.
Так же как и у перебора (цикла) у рекурсии должно быть условие остановки - Базовый случай (иначе также как и цикл рекурсия будет работать вечно - infinite). Это условие и является тем случаем к которому рекурсия идет (шаг рекурсии). При каждом шаге вызывается рекурсивная функция до тех пор пока при следующем вызове не сработает базовое условие и произойдет остановка рекурсии(а точнее возврат к последнему вызову функции). Всё решение сводится к решению базового случая. В случае, когда рекурсивная функция вызывается для решения сложной задачи (не базового случая) выполняется некоторое количество рекурсивных вызовов или шагов, с целью сведения задачи к более простой. И так до тех пор пока не получим базовое решение.
Рассмотрим это на примере нахождения факториала :
Добавить метки
Примеры
Рекурсия в программировании
Функции
Рекурсия в физике
Рекурсия в лингвистике
Цитаты
Юмор
Она съела кусок мяса, он её убил,
В землю закопал,
Надпись написал:См. также
Ссылки
Смотреть что такое "Рекурсивный алгоритм" в других словарях:
