Необходимо решить задачу линейного программирования.
Целевая функция:
2x 1 +5x 2 +3x 3 +8x 4 →min
Ограничивающие условия:
3x 1 +6x 2 -4x 3 +x 4 ≤12
4x 1 -13x 2 +10x 3 +5x 4 ≥6
3x 1 +7x 2 +x 3 ≥1
Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо перейти от неравенств к равенствам, с добавлением дополнительных переменных.
Так как наша задача - задача минимизации, то нам необходимо преобразовать ее к задаче на поиск максимума. Для этого изменим знаки коэффициентов целевой функции на противоположные. Элементы первого неравенства записываем без изменений, добавив в него дополнительную переменную x 5 и изменив знак "≤" на "=". Т. к. второе и третье неравенства имеют знаки "≥" необходимо поменять знаки их коэффициентов на противоположные и внести в них дополнительные переменные x 6 и x 7 соответственно. В результате получем эквивалентную задачу:
3x 1 +6x 2 -4x 3 +x 4 +x 5 =12
-4x 1 +13x 2 -10x 3 -5x 4 +x 6 =-6
-3x 1 -7x 2 -x 3 +x 7 =-1
Переходим к формированию исходной симплекс таблицы. В строку F таблицы заносятся коэффициенты целевой функции с противоположным знаком.
Своб член |
|||||
| F | |||||
| X5 | |||||
| X6 | |||||
| X7 |
В составленой нами таблице имеются отрицательные элементы в столбце свободных членов, находим среди них максимальный по модулю - это элемент: -6, он задает ведущую строку - X6. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент: -10 он находится в столбце X3 который будет ведущим столбцом. Переменная в ведущей строке исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис. Пересчитаем симплекс-таблицу:
| X1 | X2 | X6 | X4 | Своб член | |
| F | 0.8 | 8.9 | 0.3 | 6.5 | -1.8 |
| X5 | 4.6 | 0.8 | -0.4 | 3 | 14.4 |
| X3 | 0.4 | -1.3 | -0.1 | 0.5 | 0.6 |
| X7 | -2.6 | -8.3 | -0.1 | 0.5 | -0.4 |
В составленой нами таблице имеются отрицательные элементы в столбце свободных членов, находим среди них максимальный по модулю - это элемент: -0.4, он задает ведущую строку - X7. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент: -8.3 он находится в столбце X2 который будет ведущим столбцом. Переменная в ведущей строке исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис. Пересчитаем симплекс-таблицу:
| X1 | X7 | X6 | X4 | Своб член | |
| F | -1.988 | 1.072 | 0.193 | 7.036 | -2.229 |
| X5 | 4.349 | 0.096 | -0.41 | 3.048 | 14.361 |
| X3 | 0.807 | -0.157 | -0.084 | 0.422 | 0.663 |
| X2 | 0.313 | -0.12 | 0.012 | -0.06 | 0.048 |
Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение.В строке F имеются отрицательные элементы, это означает что полученое решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -1.988 Ведущей строкой будет та для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является X2, а ведущий элемент: 0.313.
| X2 | X7 | X6 | X4 | Своб член | |
| F | 6.351 | 0.31 | 0.269 | 6.655 | -1.924 |
| X5 | -13.895 | 1.763 | -0.577 | 3.882 | 13.694 |
| X3 | -2.578 | 0.152 | -0.115 | 0.577 | 0.539 |
| X1 | 3.195 | -0.383 | 0.038 | -0.192 | 0.153 |
Так как в строке F нет отрицательных элементов, то
найдено оптимальное решение. Так как исходной задачей был поиск минимума, то оптимальным решением будет свободный член строки F, взятый с противоположным знаком. F=1.924
при значениях переменных равных: x 3 =0.539, x 1 =0.153. Переменные x 2 и x 4 не входят в базис, поэтому x 2 =0 x 4 =0.
11.4. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД
Из результатов предыдущих пунктов следует, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двойственной и, используя оценки ее оптимального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.
Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным базисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках –двойственная.
Как было показано, при решении прямой задачи на любой итерации разность , т.е. величина -коэффициента при переменной , равна разности между правой и левой частями соответствующего ограничения двойственной задачи. Если при решении прямой задачи с максимизируемой целевой функцией итерация не приводит к оптимальному решению, то по крайней мере для одной переменной и только в оптимуме для всех разность .
Рассматривая это условие с учетом двойственности, можно записать
.
Таким образом, если
,
то .
Это означает, что, когда решение прямой задачи неоптимальное, решение
двойственной задачи недопустимое. С другой стороны
при
.
Отсюда следует, что оптимальному решению прямой задачи соответствует допустимое
решение двойственной задачи.
Это позволило разработать новый метод решения задач линейного программирования, при использовании которого сначала получается недопустимое, но «лучшее, чем оптимальное» решение (в обычном симплекс-методе сначала находится допустимое , но неоптимальное решение). Новый метод, получивший название двойственного симплекс-метода , обеспечивает выполнение условия оптимальности решения и систематическое «приближение» его к области допустимых решений. Когда полученное решение оказывается допустимым, итерационный процесс вычислений заканчивается, так как это решение является и оптимальным.
Двойственный симплекс-метод позволяет решать задачи линейного программирования, системы ограничений которых при положительном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограничений, а также размера симплексной таблицы. Рассмотрим применение двойственного симплекс-метода на примере.
Пример
. Найти минимум
функции 
при ограничениях
.
Перейдем к канонической форме:
при ограничениях
Начальная симплекс-таблица имеет вид
|
Базисные переменные |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
Решение |
|
x 3 x 4 x 5 |
–3 –4 |
–1 –3 |
–3 –6 |
|||
|
–2 |
–1 |
Начальное базисное решение оптимальное, но не допустимое.
Как и обычный симплексный метод, рассматриваемый метод решения основан на использовании условий допустимости и оптимальности.
Условие допустимости . В качестве исключаемой переменной выбирается наибольшая по абсолютной величине отрицательная базисная переменная (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если все базисные переменные неотрицательные, процесс вычислений заканчивается, так как полученное решение допустимое и оптимальное.
Условие оптимальности . Включаемая в базис переменная выбирается из числа небазисных переменных следующим образом. Вычисляются отношения коэффициентов левой части -уравнения к соответствующим коэффициентам уравнения, ассоциированного с исключаемой переменной. Отношения с положительным или нулевым значением знаменателя не учитываются. В задаче минимизации вводимой переменной должно соответствовать наименьшее из указанных отношений, а в задаче максимизации – отношение, наименьшее по абсолютной величине (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если знаменатели всех отношений равны нулю или положительные, задача не имеет допустимых решений.
После выбора включаемой в базис и исключаемой переменных для получения следующего решения осуществляется обычная операция преобразования строк симплекс-таблицы.
В рассматриваемом примере исключаемой переменной является . Отношения, вычисленные для определения новой базисной переменной, приведены в следующей таблице:
|
Переменные |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
|
Уравнение x 4 -уравнение |
–2 –4 |
–1 –3 |
|||
|
Отношение |
В качестве включаемой переменной выбирается x 2 . Последующее преобразование строк приводит к новой симплекс-таблице:
|
Базисные переменные |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
Решение |
|
x 3 x 2 x 5 |
–1 –1 |
|||||
Новое решение также оптимальное, но все еще недопустимое. В качестве новой исключаемой переменной выберем (произвольно) x 3 . Определим включаемую переменную.
|
Переменные |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
|
Уравнение x 4 -уравнение |
|||||
|
отношение |
Если в условии задачи есть ограничения со знаком ≥, то их можно привести к виду ∑a ji b j , умножив обе части неравенства на -1. Введем m дополнительных переменных x n+j ≥0(j =1,m ) и преобразуем ограничения к виду равенств
(2)
Предположим, что все исходные переменные задачи x 1 , x 2 ,..., x n – небазисные. Тогда дополнительные переменные будут базисными, и частное решение системы ограничений имеет вид
x 1 = x 2 = ... = x n = 0, x n+ j = b j , j =1,m . (3)
Так как при этом значение функции цели F 0 = 0 , можно представить F(x) следующим образом:
F(x)=∑c i x i +F 0 =0 (4)
Начальная симплекс-таблица (симплекс-табл. 1) составляется на основании уравнений (2) и (4). Если перед дополнительными переменными x n+j стоит знак «+», как в (2), то все коэффициенты перед переменными x i и свободный член b j заносятся в симплекс-таблицу без изменения. Коэффициенты функции цели при ее максимизации заносятся в нижнюю строку симплекс-таблицы с противоположными знаками. Свободные члены в симплекс-таблице определяют решение задачи.
Алгоритм решения задачи следующий:
1-й шаг. Просматриваются элементы столбца свободных членов. Если все они положительные, то допустимое базисное решение найдено и следует перейти к шагу 5 алгоритма, соответствующему нахождению оптимального решения. Если в начальной симплекс-таблице есть отрицательные свободные члены, то решение не является допустимым и следует перейти к шагу 2.
2-й шаг. Для нахождения допустимого решения осуществляется , при этом нужно решать, какую из небазисных переменных включить в базис и какую переменную вывести из базиса.
Таблица 1.
| базисные переменные | Свободные члены в ограничениях | Небазисные переменные | |||||
| x 1 | x 2 | ... | x l | ... | x n|||
| x n+1 | b 1 | a 11 | a 12 | ... | a 1l | ... | a 1n |
| x n+2 | b 2 | a 21 | a 22 | ... | a 2l | ... | a 2n |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| x n+r | b2 | a r1 | a r2 | ... | a rl | ... | a rn |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| x n+m | b m | a m1 | a m2 | ... | a ml | ... | a mn |
| F(x) max | F 0 | -c 1 | -c 2 | ... | -c 1 | ... | -c n |
Для этого выбирают любой из отрицательных элементов столбца свободных членов (пусть это будет b 2 ведущим, или разрешающим. Если в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то система ограничений несовместна и задача не имеет решения.
Одновременно из БП исключается та переменная, которая первой изменит знак при увеличении выбранной НП x l . Это будет x n+r , индекс r которой определяется из условия
т.е. та переменная, которой соответствует наименьшее отношение свободного члена к элементу выбранного ведущего столбца. Это отношение называется симплексным отношением. Следует рассматривать только положительные симплексные отношения.
Строка, соответствующая переменной x n+r , называется ведущей, или разрешающей. Элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим, или разрешающим элементом. Нахождением ведущего элемента заканчивается работа с каждой очередной симплекс-таблицей.
3-й шаг. Рассчитывается новая симплекс-таблица, элементы которой пересчитываются из элементов симплекс-таблицы предыдущего шага и помечаются штрихом, т.е. b" j , a" ji , c" i , F" 0 . Пересчет элементов производится по следующим формулам:
Сначала в новой симплекс-таблице заполнятся строка и столбец, которые в предыдущей симплекс-таблице были ведущими. Выражение (5) означает, что элемент a" rl на месте ведущего равен обратной величине элемента предыдущей симплекс-таблицы. Элементы строки a ri делятся на ведущий элемент, а элементы столбца a jl также делятся на ведущий элемент, но берутся с противоположным знаком. Элементы b" r и c" l рассчитываются по тому же принципу.
Остальные формулы легко записать с помощью .
Прямоугольник строится по старой симплекс-таблице таким образом, что одну из его диагоналей образует пересчитываемый (a ji) и ведущий (a rl) элементы (рис. 1). Вторая диагональ определяется однозначно. Для нахождения нового элемента a" ji из элемента a ji вычитается (на это указывает знак « – » у клетки) произведение элементов противоположной диагонали, деленное на ведущий элемент. Аналогично пересчитываются элементы b" j , (j≠r) и c" i , (i≠l).
4-й шаг. Анализ новой симплекс-таблицы начинается с 1-го шага алгоритма. Действие продолжается, пока не будет найдено допустимое базисное решение, т.е. все элементы столбца свободных членов должны быть положительными.
5-й шаг. Считаем, что допустимое базисное решение найдено. Просматриваем коэффициенты строки функции цели F(x) . Признаком оптимальности симплекс-таблицы является неотрицательность коэффициентов при небазисных переменных в F-строке.
Рис. 1. Правило прямоугольника
Если среди коэффициентов F-строки имеются отрицательные (за исключением свободного члена), то нужно переходить к другому базисному решению. При максимизации функции цели в базис включается та из небазисных переменных (например x l), столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента c l в нижней строке симплекс-таблицы. Это позволяет выбрать ту переменную, увеличение которой приводит к улучшению функции цели. Столбец, соответствующий переменной x l , называется ведущим. Одновременно из базиса исключается та переменная x n+r , индекс r которой определяется минимальным симплексным отношением:
Строка, соответствующая x n+r , называется ведущей , а элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом.
6-й шаг. по правилам, изложенным на 3-м шаге. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение или сделан вывод, что оно не существует.
Если в процессе оптимизации решения в ведущем столбце все элементы неположительные, то ведущую строку выбрать невозможно. В этом случае функция в области допустимых решений задачи не ограничена сверху и F max ->&∞.
Если же на очередном шаге поиска экстремума одна из базисных переменных становится равной нулю, то соответствующее базисное решение называется вырожденным. При этом возникает так называемое зацикливание, характеризующееся тем, что с определенной частотой начинает повторяться одинаковая комбинация БП (значение функции F при этом сохраняется) и невозможно перейти к новому допустимому базисному решению. Зацикливание является одним из основных недостатков симплекс-метода, но встречается сравнительно редко. На практике в таких случаях обычно отказываются от ввода в базис той переменной, столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента в функции цели, и производят случайный выбор нового базисного решения.
Пример 1. Решить задачу
max{F(x) = -2x 1 + 5x 2 | 2x 1 + x 2 ≤7; x 1 + 4x 2 ≥8; x 2 ≤4; x 1,2 ≥0}
Симплексным методом и дать геометрическую интерпретацию процесса решения.
Графическая интерпретация решения задачи представлена на рис. 2. Максимальное значение функции цели достигается в вершине ОДЗП с координатами . Решим задачу с помощью симплекс-таблиц. Умножим второе ограничение на (-1) и введём дополнительные переменные, чтобы неравенства привести к виду равенств, тогда
Исходные переменные x 1 и x 2 принимаем в качестве небазисных, а дополнительные x 3 , x 4 и x 5 считаем базисными и составляем симплекс-таблицу(симплекс-табл. 2). Решение, соответствующее симплекс-табл. 2, не является допустимым; ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с шагом 2 приведенного ранее алгоритма. Следующая симплекс-табл. 3 определяет допустимое базисное решение, ему соответствует вершина ОДЗП на рис. 2 Ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с 5-м шагом алгоритма решения задачи. Табл. 4 соответствует оптимальному решению задачи, следовательно: x 1 = x 5 = 0; x 2 = 4; x 3 = 3; x 4 = 8; F max = 20.
Рис. 2. Графическое решение задачи
Симплексный метод − это метод упорядоченного перебора опорных планов (упорядоченность обеспечивается монотонным изменением значения целевой функции при переходе к очередному плану). При этом необходимо соблюдать принцип: каждый следующий шаг должен улучшить или, в крайнем случае, не ухудшить значение целевой функции.
Для решения ЗЛП симплекс-методом ее приводят к каноническому виду, т.е. из ограничений – неравенств надо сделать ограничения – равенства. Для этого в каждое ограничение вводится дополнительная неотрицательная балансовая переменная со знаком «+», если знак неравенства «£», и со знаком «–», ели знак неравенства «³».
В целевой функции эти дополнительные переменные входят с нулевыми коэффициентами, т.е. запись целевой функции не изменится. Каждую переменную, на которую не наложено условие неотрицательности, можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных: .
Если ограничения задачи отображают наличие и расход ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в канонической форме, равно объему неиспользованного ресурса.
Для решения задачи симплекс-методом будем использовать укороченные симплексные таблицы системы линейных уравнений и метод модифицированного жорданова исключения .
1. Составляем первый опорный план
Задача остается прежней. Приведем стандартную форму системы неравенств (1) в каноническую форму системы уравнений путем введения дополнительных балансовых переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6 .
или 
В экономическом смысле значения дополнительных переменных x 3 , x 4 , x 5 определяют остатки сырья после реализации продукции.
Матрица полученной системы уравнений имеет вид:
Видно, что в матрице A базисным минором 4-го порядка является определитель, составленный из единичных коэффициентов при дополнительных переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , так как он отличен от нуля и равен 1. Это означает, что векторы-столбцы при этих переменных является линейно независимыми, т.е. образуют базис , а соответствующие им переменные x 3 , x 4 , x 5 , x 6 являются базисными (основными). Переменные x 1 , x 2 будут называться свободными (неосновными).
Если свободным переменным x 1 и x 2 задавать различные значения, то, решая систему относительно базисных переменных, получим бесконечное множество частных решений. Если свободным переменным задавать только нулевые значения, то из бесконечного множества частных решений выделяют базисные решения – опорные планы.
Чтобы выяснить, могут ли переменные быть базисными, необходимо вычислить определитель, состоящий из коэффициентов при этих переменных. Если данный определитель не равен нулю, то эти переменные могут быть базисными.
Количество базисных решений и соответствующее ему число групп базисных переменных может быть не более, чем , где n –общее число переменных, r – число базисных переменных, r ≤ m ≤ n .
Для нашей задачи r
= 4; n
= 6. Тогда 
, т.е. возможны 15 групп из 4-х базисных переменных (или 15 базисных решений).
Разрешим систему уравнений относительно базисных переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6:
Полагая, что свободные переменные x 1 = 0, x 2 = 0, получим значения базисных переменных: x 3 = 312; x 4 = 15; x 5 = 24; x 6 = –10, т.е. базисное решение будет = (0; 0; 312; 15; 24; –10).
Данное базисное решение является недопустимым , т.к. x 6 = –10 ≤ 0, а по условию ограничений x 6 ≥ 0. Поэтому вместо переменной x 6 в качестве базисной надо взять другую переменную из числа свободных x 1 или x 2 .
Дальнейшее решение будем выполнять, используя укороченные симплексные таблицы, заполнив строки первой таблицы коэффициентами системы следующим образом (табл. 1):
Таблица 1
F –строка называется индексной . Она заполняется коэффициентами целевой функции, взятыми с противоположными знаками, так как уравнение функции можно представить в виде F = 0 – (– 4x 1 – 3x 2).
В столбце свободных членов b i есть отрицательный элемент b 4 = –10, т.е. решение системы является недопустимым. Чтобы получить допустимое решение (опорный план), элемент b 4 надо сделать неотрицательным.
Выбираем x 6 -строку с отрицательным свободным членом. В этой строке есть отрицательные элементы. Выбираем любой из них, например, «–1» в x 1 -столбце, и x 1 -столбец принимаем в качестве разрешающего столбца (он определит, что переменная x 1 перейдет из свободных в базисные).
Делим свободные члены b i на соответствующие элементы a is разрешающего столбца, получаем оценочные отношения Θ i = = {24, 15, 12, 10}. Из них выбираем наименьшее положительное (minΘ i =10), которое будет соответствовать разрешающей строке . Разрешающая строка определяет переменную x j , которая на следующем шаге выступает из базиса и станет свободной. Поэтому x 6 -строка является разрешающей строкой, а элемент «–1» – разрешающим элементом . Обводим его кружком. Переменные x 1 и x 6 меняются местами.
Оценочные отношения Θ i в каждой строке определяются по правилам:
1) Θ i = , если b i и a is имеют разные знаки;
2) Θ i = ∞, если b i = 0 и a is < 0;
3) Θ i = ∞, если a is = 0;
4) Θ i = 0, если b i = 0 и a is > 0;
5) Θ i = , если b i и a is имеют одинаковые знаки.
Совершаем шаг модифицированного жорданова исключения (ШМЖИ) с разрешающим элементом и составляем новую таблицу (табл. 2) по следующему правилу:
1) на месте разрешающего элемента (РЭ) устанавливается величина, ему обратная, т.е. ;
2) элементы разрешающей строки делятся на РЭ;
3) элементы разрешающего столбца делятся на РЭ и знак меняется;
4) остальные элементы находятся по правилу прямоугольника:
Из табл. 2 видно, что свободные члены в b i -столбце являются неотрицательными, следовательно, получено первоначальное допустимое решение – первый опорный план = (10; 0; 182; 5; 4; 0). При этом значение функции F () = 40. Геометрически это соответствует вершине F (10; 0) многоугольника решений (рис. 1).
Таблица 2
2. Проверяем план на оптимальность. Опорный план не оптимальный, так как в F -строке имеется отрицательный коэффициент «–4». Улучшаем план.
3. Нахождение нового опорного плана
Выбираем разрешающий элемент по правилу:
Выбираем наименьший отрицательный коэффициент в F -строке «–4», который и определяет разрешающий столбец – x 6 ; переменную x 6 переводим в базисные;
Находим отношения Θ i , среди них выбираем наименьшее положительное, которое соответствует разрешающей строке:
min Θ i = min {14, 5, 2, ∞} = 2, следовательно, x 5 -строка – разрешающая, переменную x 5 переводим в свободные (переменные x 5 и x 6 меняются местами).
На пересечении разрешающих строки и столбца стоит разрешающий элемент «2»;
Выполняем шаг ШМЖИ, строим табл. 3 по вышеприведенному правилу и получаем новый опорный план = (12; 0; 156; 3; 0; 2).
Таблица 3
4. Проверка нового опорного плана на оптимальность
Опорный план также не является оптимальным, так как в F -строке имеется отрицательный коэффициент «–1». Значение функции F () = 48, что геометрически соответствует вершине E (12; 0) многоугольника решений (рис. 1). Улучшаем план.
5. Нахождение нового опорного плана
x 2 -столбец – разрешающий, так как в F -строке наименьший отрицательный коэффициент «–1» находится в x 2 -столбце (Δ 2 = –1). Находим наименьшее Θ i : min Θ i = min {≈ 9, 6, ∞, 24} = 6, следовательно, x 4 -строка – разрешающая. Разрешающий элемент «1/2». Меняем местами переменные x 2 и x 4 . Выполняем шаг ШМЖИ, строим табл. 4, получаем новый опорный план = (9; 6; 51; 0; 0; 5).
6. Проверка опорного плана на оптимальность
В F
-строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, опорный план является оптимальным. Геометрически соответствует точке D
(9;6) (см. рис. 1). Оптимальный план дает максимальное значение целевой функции 
у.е.
Краткая теория
Для решения задач линейного программирования предложено немало различных методов. Однако наиболее эффективным и универсальным среди них оказался симплекс-метод. При этом следует отметить, что при решении некоторых задач могут оказаться более эффективными другие методы. Например, при ЗЛП с двумя переменными оптимальным является , а при решении - метод потенциалов. Симплекс-метод является основным и применимым к любой ЗПЛ в канонической форме.
В связи с основной теоремой линейного программирования естественно возникает мысль о следующем пути решения ЗЛП с любым числом переменных. Найти каким-нибудь способом все крайние точки многогранника планов (их не больше, чем ) и сравнить в них значения целевой функции. Такой путь решения даже с относительно небольшим числом переменных и ограничений практически неосуществим, так как процесс отыскания крайних точек сравним по трудности с решением исходной задачи, к тому же число крайних точек многогранника планов может оказаться весьма большим. В связи с этими трудностями возникла задача рационального перебора крайних точек.
Суть симплексного метода в следующем. Если известны какая-нибудь крайняя точка и значение в ней целевой функции, то все крайние точки, в которых целевая функция принимает худшее значение, заведомо не нужны. Отсюда естественно стремление найти способ перехода от данной крайней точки к смежной по ребру лучшей, от нее к еще лучшей (не худшей) и т. д. Для этого нужно иметь признак того, что лучших крайних точек, чем данная крайняя точка, вообще нет. В этом и состоит общая идея наиболее широко применяемого в настоящее время симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП. Итак, в алгебраических терминах симплексный метод предполагает:
- умение находить начальный опорный план;
- наличие признака оптимальности опорного плана;
- умение переходить к нехудшему опорному плану.
Пример решения задачи
Условие задачи
Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве , , , единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве единиц, ресурса второго вида в количестве единиц, ресурса третьего вида в количестве единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве , единиц, ресурсов второго вида в количестве , единиц, ресурсов третьего вида в количестве , единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно , , тыс. руб.
- Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
- К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплексным методом, составить двойственную задачу линейного программирования.
- Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач.
- Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи, в которой производится оценка ресурсов, затраченных на продажу товаров.
Если ваш допуск к сессии зависит от решения блока задач, а у вас нет ни времени, ни желания садиться за расчёты – используйте возможности сайта сайт. Заказ задач – дело нескольких минут. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить решение задач по линейному программированию...
Решение задачи
Построение модели
Через обозначим товарооборот 1-го, 2-го и третьего вида товаров соответственно.
Тогда целевая функция, выражающая получаемую прибыль:
Ограничения по материально-денежным ресурсам:
Кроме того, по смыслу задачи
Получаем следующую задачу линейного программирования:
Приведение к каноническому виду ЗЛП
Приведем задачу к каноническому виду. Для преобразования неравенств в равенства введем дополнительные переменные . Переменные входят в ограничения с коэффициентом 1. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентом, равным нулю.
Ограничение имеет предпочтительный вид, если при неотрицательности правой части левая часть имеет переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а остальные ограничения-равенства - с коэффициентом, равным нулю. В нашем случае 1-е, 2-е, 3-е ограничения имеют предпочтительный вид с соответствующими базисными переменными .
Решение симплекс-методом
Заполняем симплексную таблицу 0-й итерации.
| БП |
Симплексные отношения |
8 | 6 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 520 | 16 | 18 | 9 | 1 | 0 | 0 | 65/2 | 0 | 140 | 7 | 7 | 2 | 0 | 1 | 0 | 20 | 0 | 810 | 9 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 90 | 0 | -8 | -6 | -4 | 0 | 0 | 0 |
Так как мы решаем задачу на максимум – наличие в индексной строке отрицательных чисел при решении задачи на максимум свидетельствует о том, что нами оптимальное решение не получено и что от таблицы 0-й итерации необходимо перейти к следующей.
Переход к следующей итерации осуществляем следующим образом:
Ведущий столбец соответствует .
Ключевая строка определяется по минимуму соотношений свободных членов и членов ведущего столбца (симплексных отношений):
На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е.7.
Теперь приступаем к составлению 1-й итерации. Вместо единичного вектора вводим вектор .
В новой таблице на месте разрешающего элемента пишем 1, все остальные элементы ключевого столбца –нули. Элементы ключевой строки делятся на разрешающий элемент. Все остальные элементы таблицы вычисляются по правилу прямоугольника.
Получаем таблицу 1-й итерации:
| БП |
Симплексные отношения |
8 | 6 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 200 | 0 | 2 | 31/7 | 1 | -16/7 | 0 | 1400/31 | 8 | 20 | 1 | 1 | 2/7 | 0 | 1/7 | 0 | 70 | 0 | 630 | 0 | -7 | -11/7 | 0 | -9/7 | 1 | - | 160 | 0 | 2 | -12/7 | 0 | 8/7 | 0 |
Ключевой столбец для 1-й итерации соответствует .
Находим ключевую строку, для этого определяем:
На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е. 31/7.
Вектор выводим из базиса и вводим вектор .
Получаем таблицу 2-й итерации:
| БП |
Симплексные отношения |
8 | 6 | 4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 1400/31 | 0 | 14/31 | 1 | 7/31 | -16/31 | 0 | 8 | 220/31 | 1 | 27/31 | 0 | -2/31 | 9/31 | 0 | 0 | 21730/31 | 0 | -195/31 | 0 | 11/31 | -65/31 | 1 | 7360/31 | 0 | 86/31 | 0 | 12/31 | 8/31 | 0 |
В индексной строке все члены неотрицательные, поэтому получено следующее решение задачи линейного программирования (выписываем из столбца свободных членов):
Таким образом, необходимо продавать 7,1 тыс.р. товара 1-го вида и 45,2 тыс.р. товара 3-го вида. Товар 2-го вида продавать невыгодно. При этом прибыль будет максимальна и составит 237,4 тыс.р. При реализации оптимального плана остаток ресурса 3-го вида составит 701 ед.
Двойственная задача ЛП
Запишем модель двойственной задачи.
Для построения двойственной задачи необходимо пользоваться следующими правилами:
1) если прямая задача решается на максимум, то двойственная - на минимум, и наоборот;
2) в задаче на максимум ограничения-неравенства имеют смысл ≤, а в задаче минимизации - смысл ≥;
3) каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, и наоборот, каждому ограничению двойственной задачи соответствует переменная прямой задачи;
4) матрица системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы системы ограничений исходной задачи транспонированием;
5) свободные члены системы ограничений прямой задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции двойственной задачи, и наоборот;
6) если на переменную прямой задачи наложено условие неотрицательности, то соответствующее ограничение двойственной задачи записывается как ограничение-неравенство, если же нет, то как ограничение-равенство;
7) если какое-либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то на соответствующую переменную двойственной задачи условие неотрицательности не налагается.
Транспонируем матрицу исходной задачи:
Приведем задачу к каноническому виду. Введем дополнительные переменные. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентом, равным нулю. Дополнительные переменные прибавим к левым частям ограничений, не имеющих предпочтительного вида, и получим равенства.
Решение двойственной задачи ЛП
Соответствие между переменными исходной и двойственной задачи:
На основании симплексной таблицы получено следующее решение двойственной задачи линейного программирования (выписываем из нижней строки):
Таким образом, наиболее дефицитным
является ресурс первого вида. Его оценка максимальна и равна
. Ресурс третьего вида является избыточным -его
двойственная оценка равна нулю
. Каждая дополнительно проданная единица товара 2-й
группы будет снижать оптимальную прибыль на
Рассмотрен графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП) с двумя переменными. На примере задачи приведено подробное описание построения чертежа и нахождения решения.
Решение транспортной задачи
Подробно рассмотрена транспортная задача, ее математическая модель и методы решения - нахождение опорного плана методом минимального элемента и поиск оптимального решения методом потенциалов.
Принятие решений в условиях неопределенности
Рассмотрено решение статистической матричной игры в условиях неопределенности с помощью критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, Байеса. На примере задачи подробно показано построение платежной матрицы и матрицы рисков.
