Решение системы производится путём ввода искусственных переменных R i со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл "штрафов" за ввод искусственных переменных, а в задачи минимизации - с положительными M. Таким образом из исходной получается новая M-задача (поэтому метод искусственного базиса так же называют M-методом ).
Если в оптимальном решении М-задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении M-задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.
Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной . Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей F, а другая – для составляющей M. При составлении симплекс таблицы полагают что исходные переменные являются небазисными, а дополнительные (x n+m) и искусственные (R i)- базисными.
Исходная таблица для "Метода искусственного базиса" имеет следующий вид:
| x 1 | x 2 | ... | x n-1 | x n | b | |
| F | -a 0,1 | -a 0,2 | ... | -a 0,n-1 | -a 0,n | -b 0 |
| x n+1 | a 1,1 | a 1,2 | ... | a 1,n-1 | a 1,n | b 1 |
| x n+2 | a 2,1 | a 2,2 | ... | a 2,n-1 | a 2,n | b 2 |
| R i | a i,1 | a i,2 | ... | a i,n-1 | a i,n | b i |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| x n+m | a m,1 | a m,2 | ... | a m,n-1 | a m,n | b m |
| M | -∑a i,1 | -∑a i,2 | ... | -∑a i,n-1 | -∑a i,n | -∑b i |
Элементы дополнительной строки M расчитываются как сумма соответствующих коэффициентов условий-равенств (условий в которые после приведения к каноническому виду введены переменные R i) взятая с противоположным знаком.
Алгоритм метода искусственного базиса.
Приводим задачу ЛП к каноническому виду
F=a 0,1 x 1 +a 0,2 x 2 +...a 0,n x n +b 0 → max
a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 +...a 1,n x n +x n+1 =b 1
a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 +...a 2,n x n +x n+2 =b 2
.........................................
a i,1 x 1 +a i,2 x 2 +...a i,n x n +R i =b i
.......................................
a m,1 x 1 +a m,2 x 2 +...a m,n x n +x n+m =b m
В случае если в исходной задаче необходимо найти минимум - знаки коэффициентов целевой функции F меняются на противоположные a 0,n =-a 0,n . Знаки коэффициентов ограничивающих условий со знаком "≥" так же меняются на противоположные. В случае если условие содержит знак "≤" или "=" - коэффициенты запишутся без изменений. К каждому условияю-неравенству, при переходе к каноническому виду добавляем дополнительную переменную, x n+m , к каждому i-му условию-равенству добавляем искусственную переменную R i .
Шаг 0. Составляем симплексную таблицу, соответствующую исходной задаче
| x 1 | x 2 | ... | x n-1 | x n | b | |
| F | -a 0,1 | -a 0,2 | ... | -a 0,n-1 | -a 0,n | -b 0 |
| x n+1 | a 1,1 | a 1,2 | ... | a 1,n-1 | a 1,n | b 1 |
| x n+2 | a 2,1 | a 2,2 | ... | a 2,n-1 | a 2,n | b 2 |
| R i | a i,1 | a i,2 | ... | a i,n-1 | a i,n | b i |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| x n+m | a m,1 | a m,2 | ... | a m,n-1 | a m,n | b m |
| M | -∑a i,1 | -∑a i,2 | ... | -∑a i,n-1 | -∑a i,n | -∑b i |
Шаг 1. Проверка на допустимость.
Проверяем на положительность элементы столбца b (свободные члены), если среди них нет отрицательных то найдено допустимое решение (решение соответствующее одной из вершин многогранника условий) и мы переходим к шагу 2. Если в столбце свободных членов имеются отрицательные элементы то выбираем среди них максимальный по модулю - он задает ведущую строку k. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент a k,l - он задает ведущий столбец - l и является ведущим элементом. Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитываем симплекс-таблицу согласно .
Если же среди свободных членов есть отрицательные элементы - а в соответствующей строке - нет то условия задачи несовместны и решений у нее нет.
Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то ко второму.
Шаг 2. Проверка на оптимальность.
На предыдущем этапе найдено допустимое решение. Проверим его на оптимальность Если среди элементов симплексной таблицы, находщихся в строках M и F(не беря в расчет элемент b 0 - текущее значение целевой функции и элемент -∑b i) нет отрицательных, то найдено оптимальное решение.
2.1 Положительность строки M
Если в строке M есть отрицательные элементы то решение требует улучшения. Выбираем среди отрицательных элементов строки M максимальный по модулю (исключая -∑b i)
При a i,l >0, b i >0
Пересчитываем симплекс-таблицу по . Если в новой таблице после перерасчета в строке M остались отрицательные элементы переходим к шагу 2
Если в строке M и в столбце свободных членов все элементы положительные, то переходим к шагу 2.2 .
2.2 Положительность строки F
Проверяем на положительность элементы строки F. Если имеются отрицательные элементы (не считая b 0), выбираем среди отрицательных элементов строки F максимальный по модулю.
-a 0,l =min{-a 0,i }
l - столбец в котором он находится будет ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.
b k /a k,l =min {b i /a i,l } при a i,l >0, b i >0
k - cтрока, для которой это отношение минимально - ведущая. Элемент a k,l - ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (x k) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (x l) включается в базис.
Пересчитываем симплекс-таблицу по . Если в новой таблице после перерасчета в строке F остались отрицательные элементы переходим к шагу 2.2
Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена - алгоритм завершает работу.
Если в строке F и в столбце свободных членов все элементы положительные, то найдено оптимальное решение.
Алгоритм метода искусственного базиса имеет следующие особенности:
1. Ввиду того, что начальное опорное решение расширенной задачи содержит искусственные переменные, входящие в целевую функцию с коэффициентом —М
(в задаче на максимум) или +М
(в задаче на минимум), оценки разложений векторов условий состоят из двух слагаемых и 
, одно из которых не зависит от М
, а другое 
зависит от М
. Так как М
скольугодно велико по сравнению с единицей (М>>
1), то на первом этапе расчета для нахождения векторов, вводимых в базис, используются только слагаемые оценок 
.
2. Векторы, соответствующие искусственным переменным, которые выводятся из базиса опорного решения, исключаются из рассмотрения.
3. После того, как все векторы, соответствующие искусственным переменным, исключаются из базиса, расчет продолжается обычным симплексным методом с использованием оценок , не зависящих от М.
4. Переход от решения расширенной задачи к решению исходной задачи производится с использованием доказанных выше теорем 4.1-4.3.
Пример 4.4. Решить задачу линейного программирования методом искусственного базиса
.
Решение . Составляем расширенную задачу. В левые части уравнений системы ограничений вводим неотрицательные искусственные переменные с коэффициентом (всегда) +1. Удобно справа от уравнений записать вводимые искусственные переменные. В первое уравнение вводим , во второе — . Данная задача — задача на нахождение максимума, поэтому и в целевую функцию вводятся с коэффициентом — М . Получаем
Задача имеет начальное опорное решение 
с единичным базисом 
.
Вычисляем оценки векторов условий по базису опорного решения и значение целевой функции на опорном решении.
. 
.
Записываем исходные данные в симплексную таблицу (табл. 4.6).
Т а б л и ц а 4.6
При этом оценки и 
для удобства вычислений записываем в две строки: в первую — слагаемые , не зависящие от М
, во вторую — слагаемые 
, зависящие от М
. Значения 
удобно указывать без М
, имея в виду однако, что оно там присутствует.
Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на максимум имеются отрицательные оценки. Выбираем номер вектора , вводимого в базис опорного решения, и номер вектора , выводимого из базиса. Для этого вычисляем приращения целевой функции при введении в базис каждого из векторов с отрицательной оценкой и находим максимум этого приращения. При этом слагаемыми оценок (без М
) пренебрегаем до тех пор, пока хотя бы одно слагаемое 
(с М
) не будет отлично от нуля. В связи с этим строка со слагаемыми оценок может отсутствовать в таблице до тех пор, пока присутствует строка 
. Находим при k
= 3.
В третьем столбце " " за разрешающий элемент выбираем коэффициент 1 во второй строке и выполняем преобразование Жордана.
Вектор , выводимый из базиса, исключаем из рассмотрения (вычеркиваем). Получаем опорное решение 
с базисом 
(табл. 4.7). Решение не является оптимальным так как имеется отрицательная оценка 
= —
1.
Т а б л и ц а 4.7
В столбце " " единственный положительный элемент принимаем за разрешающий и переходим к новому опорному решению 
с базисом 
(табл. 4.8).
Т а б л и ц а 4.8
Данное опорное решение является единственным оптимальным решением расширенной задачи, так как в задаче на максимум оценки для всех векторов, не входящих в базис, положительны. По теореме 4.1 исходная задача также имеет оптимальное решение, которое получается из оптимального решения расширенной задачи отбрасыванием нулевых искусственных переменных, т. е. Х * = (0,0,6,2).
Ответ
: max Z
(X
) = -10 при 
.
Пример 4.5. Решить методом искусственного базиса задачу линейного программирования со смешанными ограничениями
Решение . Приводим задачу линейного программирования к каноническому виду. Для этого вводим дополнительные переменные и в первое и третье ограничения соответственно. Получаем
.
Составляем расширенную задачу, для чего вводим искусственные переменные и во второе и третье уравнения соответственно. Получаем
Данная расширенная задача имеет начальное опорное решение
С единичным базисом 
, 
. Вычисляем оценки векторов условий по базису опорного решения и записываем в симплексную таблицу так же, как в предыдущем примере. Решение не является оптимальным, так как в задаче на минимум векторы и имеют положительные оценки . Улучшаем опорные решения. Каждому опорному решению соответствует своя таблица. Все таблицы можно записать друг под другом, объединив в единую таблицу (табл. 4.9).
Т а б л и ц а 4.9
Определяем, введение какого из векторов или в базис начального опорного решения приведет к большему уменьшению целевой функции. Находим при k
= 2, т. е. лучше ввести в базис вектор . Получаем второе опорное решение с базисом 
. Целевая функция 
. Это решение также не является оптимальным, так как вектор имеет положительную оценку 
. Вводим вектор в базис, получаем третье опорное решение с базисом 
. Целевая функция 
. Это решение оптимальное, но не единственное, так как вектор , не входящий в базис, имеет нулевую оценку. Поэтому необходимо перейти к новому опорному решению, которое также будет оптимальным. Для этого требуется ввести в базис вектор .
Переходим к четвертому опорному (оптимальному) решению
С базисом 
, при этом 
. Оптимальные решения расширенной задачи , имеют нулевые искусственные переменные. Поэтому (по теореме 4.1) исходная задача также имеет два оптимальных решения 
и 
. Дополнительные переменные в оптимальном решении исходной задачи не записываем.
Ответ
: 
при 
, 
, 
, 
.
Слово симплекс
Слово симплекс английскими буквами(транслитом) — simpleks
Слово симплекс состоит из 8 букв: е и к л м п с с
Значения слова симплекс. Что такое симплекс?
Симплекс
Симплекс (от лат. simplex - простой) (математический), простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. При n = 3 трёхмерный С. представляет собой произвольный, в том числе неправильный, тетраэдр.
БСЭ. - 1969-1978
Симплекс - выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости. С. выделены в отдельный класс потому, что в n-мерном пространстве n точек всегда лежат в одной гиперплоскости.
slovar-lopatnikov.ru
СИМПЛЕКС - выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости. С. выделены в отдельный класс потому, что в n-мерном пространстве n точек всегда лежат в одной гиперплоскости.
Лопатников. - 2003
Саб симплекс
Саб симплекс Способ применения и дозы: Внутрь, во время или после еды и, при необходимости, перед сном. Перед применением следует активно встряхнуть флакон.
Решение ЗЛП симплекс методом с искусственным базисом
Чтобы суспензия начала поступать из пипетки…
Саб симплексДействующее вещество ›› Симетикон* (Simethicone*) Латинское название Sab simplex АТХ:›› A02DA Ветрогонные препараты Фармакологическая группа…
Словарь медицинских препаратов. — 2005
САБ® СИМПЛЕКС (SAB® SIMPLEX) Суспензия для приема внутрь от белого до серо-белого цвета, слегка вязкая, с характерным фруктовым (ванильно-малиновым) запахом. 100 мл симетикон 6.919 г…
ШОКЕ СИМПЛЕКС
ШОКЕ СИМПЛЕКС — непустое компактное выпуклое множество Xв локально выпуклом пространстве E, обладающее следующим свойством: при вложении Ев качестве гиперплоскости в пространство проектирующий конус.
Шеффилд-Симплекс
«Шеффилд-Симплекс» (англ. Sheffield-Simplex) - лёгкий пулемётный бронеавтомобиль Вооружённых сил Российской империи. Разработан британской фирмой «Sheffield-Simplex» на базе шасси собственного легкового автомобиля…
ru.wikipedia.org
Нордитропин Симплекс
Нордитропин Симплекс Показания: Задержка роста у детей вследствие недостаточности гормона роста или хронической почечной недостаточности (в препубертатном возрасте), синдрома Шерешевского - Тернера…
НОРДИТРОПИН® СИМПЛЕКС® (NORDITROPIN SimpleXx) Раствор для п/к введения 1.5 мл (1 картридж) соматропин 10 мг 1.5 мл — картриджи (1) — упаковки ячейковые контурные (1) — пачки картонные.
Справочник лекарственных препаратов "Видаль"
СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС
СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС — 1) С. с.- симплекс размерности пв пространстве с вершинами в точках е i=(0,…, 1,…, 0), i=0,…, п(единица стоит на i-м месте), т. е.
Математическая энциклопедия. — 1977-1985
Двойственный симплекс-метод
Двойственный симплекс-метод можно применять при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой могут быть любыми числами. В обычном симплексном алгоритме план всегда должен быть допустимым.
ru.wikipedia.org
Русский язык
Си́мпле́кс/.
Морфемно-орфографический словарь. - 2002
Поиск Лекций
Пример решения задачи методом искусственного базиса.
Найти минимум функции F=-2×1+3×2 — 6×3 — x4 при условиях
Решение. Запишем данную задачу в форме основной задачи: найти максимум функции F1=2×1 – 3×2 + 6×3 + x4 при условиях
В системе уравнений последней задачи рассмотрим векторы из коэффициентов при неизвестных:
А1 = А2 = А 3= А 4= А 5= А 6=
Среди векторов А1 ,…, А 6 только два единичных (А 4 и А 5). Поэтому в левую часть третьего уравнения системы ограничений добавим дополнительную неотрицательную переменную x 7 и рассмотрим расширенную задачу, состоящую в максимизации функции
F=2×1 – 3×2 + 6×3 + x4 – Mx7
при условиях
Расширенная задача имеет опорный план X=(0; 0; 0; 24; 22; 0; 10), определяемый системой трех единичных векторов: А 4 , А5 , А7 .
Таблица 1
| i | Базис | Сσ | А0 | -3 | —M | |
| А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 | P7 |
| А4 | -2 | |||||
| А5 | ||||||
| А7 | —M | -1 | -1 | |||
| m +1 | -8 | |||||
| m +2 | -10 | -1 | -2 |
Составляем таблицу (1) I итерации, содержащую пять строк. Для заполнения 4-й и 5-й строк находим F 0 и значения разностей zj – cj (j= ):
F 0 = 24–10M;
z1–c1 = 0–M ;
z2–c2 = 4+M ;
z3–c3 = –8–2M ;
z4–c4 =0+M ;
z5–c5 =0+M ;
z6–c6 = 0+M ;
z7–c7 =0+M ;
Значения F 0 и zj–cj состоят из двух слагаемых, одно из которых содержит M , а другое – нет.
Для удобства итерационного процесса число, состоящее при M , записываем в 5-й строке, а слагаемое, которое не содержит M ,– в 4-й строке.
В 5-й строке табл.1 в столбцах векторов Аj (j = ) имеется два отрицательных числа (-1 и -2). Наличие этих чисел говорит о том, что данный опорный план расширенной задачи не является оптимальным. Переходим к новому опорному плану расширенной задачи.
Метод искусственного базиса.
В базис вводим вектор А3 . Чтобы определить вектор, исключаемый из базиса, находим θ=min(22/4; 10/2)=10/2. Следовательно, вектор А7 исключаем из базиса. Этот вектор не имеет смысла вводить ни в один из последующих базисов, поэтому в дальнейшем столбец данного вектора не заполняется (табл. 2 и 3).
Составляем таблицу II итерации (табл. 2). Она содержит только четыре строки, так как искусственный вектор из базиса исключен.
Таблица2
| i | Базис | Сσ | А0 | -3 | |
| А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 |
| А4 | -1 | ||||
| А5 | -1 | ||||
| А3 | 1/2 | -1/2 | -1/2 | ||
| m +1 | -4 |
Как видно из табл. 2, для исходной задачи опорным является план Х =(0;0;5;34;2).
Проверим его на оптимальность. Для этого рассмотрим элементы 4-й строки. В этой строке в столбце вектора А6 имеется отрицательное число (-4). Следовательно, данный опорный план не является оптимальным и может быть улучшен благодаря введению в базис вектора А6. Из базиса исключается вектор А5 . Составляем таблицу III итерации.
Таблица 3
В 4-й строке табл.3 среди чисел ∆j нет отрицательных. Это означает, что найденный новый опорный план исходной задачи Х *=(0; 0; 11/2; 35; 0; 1) является оптимальным. При этом плане значение линейной формы Fmax = 68.
Решение данной задачи можно проводить, используя одну таблицу, в которой последовательно записаны все итерации.
©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных
| x 1 | - | 2 | x 2 | + | S 1 | = | 2 | ||||||||||
| 2 | x 1 | +3 | x 2 | - | S 2 | = | 4 | ||||||||||
| - | 2 | x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 2 |
| x 1 | - | 2 | x 2 | + | S 1 | = | 2 | |||||||||||||
| 2 | x 1 | +3 | x 2 | - | S 2 | + | R 1 | = | 4 | |||||||||||
| - | 2 | x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 2 |
| x 1 = 0 x 2 = 0 S 2 = 0 S 1 = 2 S 3 = 2 R 1 = 4 |
=> W = 4 |
| x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | R 1 | св. член | Θ |
| 1 | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 2 | |
| 2 | 3 | 0 | -1 | 0 | 1 | 4 | 4: 3 ≈ 1,33 |
| -2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2: 1 = 2 |
| -2 | -3 | 0 | 1 | 0 | 0 | W - 4 | |
| 1 | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 2 | |
| 2/3 | 1 | 0 | -1/3 | 0 | 1/3 | 4/3 | |
| -2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | |
| -2 | -3 | 0 | 1 | 0 | 0 | W - 4 | |
| 7/3 | 0 | 1 | -2/3 | 0 | 2/3 | 14/3 | |
| 2/3 | 1 | 0 | -1/3 | 0 | 1/3 | 4/3 | |
| -8/3 | 0 | 0 | 1/3 | 1 | -1/3 | 2/3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | W - 0 |
| 7/3 | x 1 | + | S 1 | - | 2/3 | S 2 | = | 14/3 | |||||||||
| 2/3 | x 1 | + | x 2 | - | 1/3 | S 2 | = | 4/3 | |||||||||
| - | 8/3 | x 1 | + | 1/3 | S 2 | + | S 3 | = | 2/3 |
| x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | св. член | Θ |
| 7/3 | 0 | 1 | -2/3 | 0 | 14/3 | 14/3: 7/3 = 2 |
| 2/3 | 1 | 0 | -1/3 | 0 | 4/3 | 4/3: 2/3 = 2 |
| -8/3 | 0 | 0 | 1/3 | 1 | 2/3 | |
| -7/3 | 0 | 0 | 5/3 | 0 | F - 20/3 | |
| 1 | 0 | 3/7 | -2/7 | 0 | 2 | |
| 2/3 | 1 | 0 | -1/3 | 0 | 4/3 | |
| -8/3 | 0 | 0 | 1/3 | 1 | 2/3 | |
| -7/3 | 0 | 0 | 5/3 | 0 | F - 20/3 | |
| 1 | 0 | 3/7 | -2/7 | 0 | 2 | |
| 0 | 1 | -2/7 | -1/7 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 8/7 | -3/7 | 1 | 6 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | F - 2 |
| S 1 = 0 S 2 = 0 x 1 = 2 x 2 = 0 S 3 = 6 |
=> F - 2 = 0 => F = 2 |
Пусть решаем ЗЛП в виде
В этом случае общая схема симплекс-метода претерпевает некоторые изменения. А именно:
1) Пусть дан базис некоторого опорного решения и соответствующая ему симплекс-таблица . В верхней строке этой таблицы (заголовки столбцов) располагаются свободные переменные, в крайнем левом столбце – базисные переменные; крайний правый столбец – это столбец свободных членов, а самая нижняя строка является строкой целевой функции и называется вектором относительных оценок. Остальное содержимое таблицы - столбцы матрицы ограничений, отвечающие соответствующим столбцам свободных переменных. Координаты вектора относительных оценок находят по правилу: вектор из коэффициентов при базисных переменных в целевой функции скалярно умножить на i -й столбец симплекс-таблицы и вычесть из найденного числа коэффициент целевой функции при соответствующем свободном переменном.
2) Если все относительные оценки (нижняя строка этой таблицы) неотрицательны, то построено оптимальное опорное решение.
3) Если существует отрицательная оценка и соответствующий ей столбец (разрешающий) состоит из неположительных элементов, то имеет место неразрешимость целевой функции Z (X ), то есть max Z (X ) ®+¥.
4) Иначе, выбрать ведущий элемент (задаёт ведущую строку) и сделать с ним шаг жордановых исключений, перейдя к новой симплекс-таблице, которую проанализировать как в пункте 2).
Метод искусственного базиса
Метод искусственного базиса применяется для решения задач ЛП в случае, когда задача не имеет начального опорного решения с базисом из единичных векторов.
Пусть задана задача ЛП в канонической форме, то есть имеет вид (2.1.1), и в ней отсутствует единичный базис. К этой задаче строим вспомогательную задачу (ВЗ): 
Здесь w 1 , w 2 ,…, w m – искусственные переменные. Запишем ограничения в векторном виде: A 1 x 1 +A 2 x 2 +…+A n x n +A n +1 w 1 +…+A n + m w m =B , где , , …, , , , …, , . Таким образом, вектора , , …, образуют единичный базис в R m , и все искусственные переменные соответствующие этим векторам будут базисными. Далее строится обычная симплекс-таблица. Если ВЗ не имеет решения в силу неограниченности целевой функции, то исходная задача также не имеет решения по той же причине. Пусть в результате знакомых по симплекс-методу необходимых преобразований получили оптимальную симплекс-таблицу к ВЗ. Очевидно, что максимальное значение целевой функции ВЗ равно 0, то есть max F =0. Если же maxF <0, то исходная задача ЛП не имеет решения в силу несовместности системы ограничений. Предположим, что max F =0. Тогда возможны такие ситуации:
1) все искусственные переменные стали свободными и были исключены из таблицы. В этом случае вычеркиваем столбцы, соответствующие искусственным переменным и последнюю строку. Вместо неё приписываем новую строку оценок, но с использованием исходной целевой функции Z (X ). Тем самым получена начальная симплекс-таблица для исходной задачи ЛП, к которой применяем симплекс-метод;
2) в оптимальном решении ВЗ хотя бы одна искусственная переменная осталась базисной. Тогда:
а) либо все числа в строках, соответствующих оставшимся базисным искусственным переменным, равны 0;
б) либо есть хоть одно отличное от 0.
В первом случае, поступаем также как и пункте 1). Во втором, выбираем любой ненулевой элемент в качестве ведущего и делаем шаг жордановых исключений. Через конечное число шагов мы придем или к пункту 1), или к пункту 2)а).
Заметим, что если среди векторов A j , j =1,2,…,n , были вектора, которые могли бы войти в базис, то искусственные переменные вводят только в те уравнения системы ограничений, в которых отсутствует базисная переменная.
Пример. Максимизировать функцию Z =x 1 +2x 2 -2x 3 при ограничениях
Решение. Преобразуем исходную задачу линейного программирования к канонической (см. (2.1.1). Для этого введём в ограничения дополнительные неотрицательные переменные. А именно, в первое неравенство – переменную x 4 со знаком «+», во второе – x 5 со знаком «-» (см. §2.2). Система ограничений примет вид:
Эту систему запишем в векторной форме: A 1 x 1 +A 2 x 2 +A 3 x 3 +A 4 x 4 +A 5 x 5 =B , где
Очевидно, что в данной системе ограничений отсутствует единичный базис. Это означает, что среди векторов A j нет трёх необходимых единичных векторов, которые должны образовывать базис в R 3 . Однако заметим, что вектор A 4 является частью базиса. Ему соответствует базисная переменная x 4 . Необходимо найти ещё два единичных вектора. Для этого применим метод искусственного базиса. Введём искусственные переменные в те уравнения ограничений, в которых не присутствует базисная переменная x 4 и построим следующую вспомогательную задачу (ВЗ):
F =-w 1 -w 2 ®max
где w 1 , w 2 – искусственные переменные. Система ограничений ВЗ в векторном виде имеет вид: A 1 x 1 +A 2 x 2 +A 3 x 3 +A 4 x 4 +A 5 x 5 +A 6 w 1 +A 7 w 2 =B , где вектора A j , j =1,2,3,4,5 определяются также, как и выше, а и . Таким образом, вектора A 4 , A 6 , A 7 образуют базис в R 3 и им соответствуют базисные переменные (БП) – x 4 , w 1 , w 2 . Все остальные переменные, а именно x 1 , x 2 , x 3 , x 5 объявляются свободными (СП). Далее к ВЗ применяем обычный симплекс-метод. Как и раньше, см. §5.1, начальный опорный план получается, если присвоить свободным переменным значения, равные нулю. При этом базисные переменные принимают значения, равные числам в соответствующей строке столбца свободных коэффициентов В , то есть x 1 =x 2 =x 3 =x 5 =0¸ а x 4 =8, w 1 =4, w 2 =12. Строим симплекс-таблицу, соответствующую начальному опорному плану:
| СП БП. | x 1 | x 2 | x 3 | x 5 | B |
| x 4 | -3 | ||||
| w 1 | -1 | ||||
| w 2 | -2 | ||||
| F | -4 | -3 | -16 |
С этой таблицей проводим необходимые преобразования (см. §5.1) симплекс-метода, пока не получим оптимальную симплекс-таблицу или не получим неразрешимость. В нашем случае, мы уже на втором шаге будем иметь такую симплекс-таблицу:
| СП БП. | w 1 | x 2 | x 3 | w 2 | B |
| x 4 | -0,5 | -3 | -0,5 | -0,5 | |
| x 1 | 0,25 | 0,75 | 0,25 | ||
| x 5 | -0,75 | -2 | |||
| F |
Эта таблица будет оптимальной для ВЗ. При этом все искусственные переменные стали свободными и max F =0. Вычеркивая столбцы, соответствующие искусственным переменным и последнюю строку, и приписывая новую строку оценок с использованием исходной целевой функции Z (X ), получим начальную симплекс-таблицу для исходной задачи ЛП:
| СП БП. | x 2 | x 3 | B |
| x 4 | -3 | -0,5 | |
| x 1 | 0,75 | ||
| x 5 | -2 | ||
| Z | -2 | 2,75 |
Проанализировав последнюю таблицу, делаем вывод, что исходная задача ЛП не имеет решения в силу неограниченности целевой функции.
Пример. Минимизировать функцию 
при ограничениях
Если ввести дополнительные неотрицательные переменные , , , , и перейти к задаче на нахождение максимума целевой функции, исходная задача примет вид:
Базисное решение (допустимый план) будет иметь вид: , а , , w 1 =10, w 2 =5. Строим симплекс-таблицу к ВЗ, соответствующую начальному опорному плану:
| СП БП. | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | B |
| w 1 | -1 | ||||
| w 2 | -1 | ||||
| x 5 | |||||
| x 6 | -1 | ||||
| F | -1 | -1 | -15 |
Проводя преобразования по методу Жордана-Гаусса, на втором шаге будем иметь оптимальную симплекс-таблицу ВЗ (5.2.2). Вычеркивая столбцы, соответствующие искусственным переменным и последнюю строку, и приписывая новую строку оценок с использованием целевой функции Z 1 (X ), получим начальную симплекс-таблицу для задачи (5.2.1).
До сих пор мы всесторонне рассматривали задачу, решение которой осуществлялось на основе простейшего алгоритма симплексного метода, поскольку все ограничения имели вид меньше либо равно. В этом случае дополнительные переменные задачи образуют единичный базис. Но может получиться так, что система ограничений представлена в канонической форме, но она не приведена к единичному базису.
При решении таких задач был введен метод искусственного базиса . Он особенно удобен, когда число переменных значительно превосходит число уравнений.
Алгоритм решения задачи симплексным методом с искусственным базисом рассмотрим на примере.
Пример 1
Найти максимум Z=4X1+2X2+X3
3Х1+2Х2+Х3=15
Хj³0, j=1,...,3
Переходим к канонической форме:
Х1+Х2+Х3-Х4=8
2Х1+Х2+Х3+Х5=8
3Х1+2Х2+Х3=15
Хj³0, j=1,...,5
Zmax=4X1+2X2+X3+0×X4+0×X5
Данная система ограничений не имеет единичного базиса, так как дополнительная переменная Х4 имеет коэффициент минус единица, а третье ограничение было представлено уравнением и в нем отсутствует базисная переменная. Для того, чтобы был единичный базис вводим в соответствующие ограничения искусственные переменные y1 и y2 с положительными коэффициентами (+1).
Следует отметить, что искусственные переменные вводятся только для математической формализации задачи. Поэтому схема вычислений должна быть такой, чтобы искусственные пременные не могли попасть в окончательное решение в числе базисных переменных. С этой целью для искусственных переменных в целевой функции вводят коэффициент М, обозначающий очень большое число. На практике (особенно при решении задачи на ЭВМ) вместо М берут конкретное большое число, например, 10000. Причем, при решении задачи на максимум этот коэффициент вводится в целевую функцию со знаком минус, а при решении на минимум – со знаком плюс. Теперь будем решать Т (М)-задачу, целевая функция которой содержит целевую функцию Z–задачи и искусственные переменные с коэффициентом ±М, т.е.
T=Z-M S yi, при решении на максимум целевой функции и
T=Z+M S y, при решении на минимум целевой функции
В нашем случае:
Х1+Х2+Х3-Х4+y1=8
2Х1+Х2+Х3+Х5=8
3Х1+2Х2+Х3+y2=15
Хj³0, j=1,...,5
Тmax= 4X1+2X2+X3+0×X4+0×X5 - M(y1+y2)
Эта задача решается в симплексных таблицах, но для удобства целевую функцию разбивают на 2 строки:
В первую строку записываем оценки, которые не содержат коэффициент М;
Во вторую строку- оценки по каждой свободной переменной, содержащие коффициент М.
Расчет элементов (оценок) этих двух строк производится по формуле (2). Только отличие:
При расчете оценок Z -строки должны быть учтены коэффициенты Cj , входящие в функцию Z ;
При расчете оценок М-строки этот коэффициент во внимание не берется, а М -выносится как общий множитель.
Для того, чтобы Т-задача и Z-задача были равны, нужно, чтобы yi были равны нулю. Поэтому пока y i не равно нулю, разрешающий столбец выбирается по оценкам во второй строке, используя алгоритм симплексного метода.
Лишь после того, как все y i станут равны нулю, дальнейший расчет будет вестись по первой индексной строке, т.е. -обычная Z-задача.
Причем, когда искусственная переменная будет выводиться из базиса, ее выбросим из симплексной таблицы, а в следующей симплекс-таблице не будет бывшего разрешающего столбца.
Между оптимальными решениями М-задачи и Z-задачи существует связь, устанавливаемая следующей теоремой:
1. Если в оптимальном решении М-задачи все искусственные переменные (y i) равны нулю, то это решение будет являться оптимальным решением Z-задачи.
2. Если в оптимальном решении М-задачи, хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то Z-задача не имеет решения по причине несовместности системы ограничений.
3. Если М-задача оказалась неразрешимой (Т®+¥ или-¥), то исходная задача также неразрешима либо по причине несовместности системы ограничений, либо по причине неограниченности функции Z.
Составим первую симплексную таблицу. При решении М-методом разрешающий столбец можно выбирать в М-строке не по наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценке (при решении на максимум) и не по наибольшей положительной оценке (при решении на минимум), а по той из них, которая быстрее выводит У из базиса. В данном примере разрешающим столбцом будет столбец свободной переменной X2 с оценкой (-3).
Таблица 3.1.
Первая симплексная таблица
Заполнение Z- строки осуществляется по формуле (2):
а00 = 0 × 8– 0 = 0
а01 =0 × 2– 4 = -4
а02 =0 × 1– 2 = -2
а03 =0 × 1– 1 = -1
а02 =0 × 0– 0 = 0
Заполнение М- строки:
а¢00 = -М × 8 + (–М) × 15 = -23М
а¢01 = -М × 1 + (–М) × 3= -4М
а¢02 = -М × 1 + (–М) × 2= -3М
а¢03 = -М × 1+ (–М) × 1 = -2М
а¢04 = -М ×(-1)+ (–М) × 0 = 1М
М выносим как общий множитель.
В последнем столбце в разрешающей строке стоит 0, поэтому столбец свободной переменной X4 переносим без изменений.
Таблица 3.2.
Вторая симплексная таблица
Во второй таблице получаем вырожденное решение, так как получаются два одинаковых минимальных симплексных отношений. Поэтому находим отношения элементов столбца следующего за разрешающим к элементам разрешающего столбца с учетом знака.
Таблица 3.3.
Третья симплексная таблица
Теперь решаем обычным симплексным методом.
Таблица 3.4.
Четвертая симплексная таблица
| Св.П | Cj | |||
| Б.П. | Ci | ai0 | X5 | X4 |
| Х3 | -1 | |||
| X1 | ||||
| Х2 | -2 | -1 | ||
| Z |
В оценочной строке все элементы являются неотрицательными величинами, следовательно получено оптимальное решение:
Zmax=15 Xopt(0,7,1,0,0)
Пример2
Задача решалась на минимум (Z®min) целевой функции. На последней итерации получили следующую таблицу:
Таблица 3.5.
Последняя симплексная таблица
| Св.П | Cj | ||||
| Б.П. | Ci | ai0 | X1 | X3 | X4 |
| У1 | М | -1/2 | -1/2 | -1/2 | -1 |
| X5 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | ||
| Х2 | 15/2 | 3/2 | 1/2 | ||
| Z | -1 | ||||
| М | -1/2 | -1/2 | -1/2 | -1 |
В Т-задаче получено оптимальное решение, так как в М-строке нет больше положительных оценок, т.е. выбор разрешающего столбца невозможен, а У1 находится в базисе. В этом случае исходная задача не имеет решения по причине несовместности системы ограничений.
