На этом уроке мы повторим пройденную теорию и продолжим решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
Вначале повторим теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. И далее будем решать задачи с использованием этого признака.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Повторение теории и решение типовых задач на

перпендикулярность прямой и плоскости (продолжение)

На этом уроке мы повторим пройденную теорию и продолжим решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости .

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две прямые p и q, пересекающиеся в точке О (рис. 1). Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

3. Сайт репетитора по математике()

1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Дана окружность с центром в точке О . Прямая МО перпендикулярна плоскости окружности. Докажите, что прямая МО перпендикулярна любому радиусу окружности.

3. В треугольнике АВС проведена высота СН . Прямая МА перпендикулярна плоскости АВС . Перпендикулярна ли прямая СН плоскости АМВ ?

4. Прямая МА перпендикулярна плоскости квадрата АВС D . Найдите длину отрезков МС, MB , MD , если сторона квадрата равна а, АМ = b .

Задачи и упражнения на готовых чертежах, 10-11 классы, Геометрия, Рабинович Е. М., 2006.

Оглавление
Предисловие.
Повторение курса планиметрии.
Таблица 1. Решение треугольников.
Таблица 2. Площадь треугольника.
Таблица 3. Площадь четырехугольника.
Таблица 4. Площадь четырехугольника. Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые.
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей.
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей.
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей.
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная.
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная.
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей.
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей.
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве.
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми.
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью.
Таблица 10.22. Угол между плоскостями.
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника
Таблица 10.24. Векторы в пространстве.Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол.
Таблица 11.2. Прямая призма.
Таблица 11.3. Правильная призма.
Таблица 11.4. Правильная призма.
Таблица 11.5. Наклонная призма.
Таблица 11.6. Параллелепипед.
Таблица 11.7. Построение сечений призмы.
Таблица 11.8. Правильная пирамида.
Таблица 11.9. Пирамида.
Таблица 11.10. Пирамида.
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида.
Таблица 11.12. Построение сечении пирамиды.
Таблица 11.13. Цилиндр.
Таблица 11.14. Конус.
Таблица 11.15. Kohуc. Усеченный kohуc.
Таблица 11.16. Шар.
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар.
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда.
Таблица 11.19. Объем призмы.
Таблица 11.20. Объем пирамиды.
Таблица 11.21. Объем пирамиды.
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды.
Таблица 11.23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра.
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конус.
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.
Таблица 11.26. Объем шара. Площадь поверхности шара. Ответы, указания, решения

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Задачи и упражнения на готовых чертежах, 10-11 классы, Геометрия, Рабинович Е. М., 2006 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.

Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых , так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.

Определение.

Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.

Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .

В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.

В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.

Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.

На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 -11 классы.

При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.

В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Это условие можно переписать в следующем виде.

Пусть - направляющий вектор прямой a , а - нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось и : , где t – некоторое действительное число.

Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве , а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Докажите перпендикулярность прямой и плоскости .

Решение.

Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве , являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, - направляющий вектор прямой .

Коэффициенты при переменных x , y и z в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, - нормальный вектор плоскости .

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Так как , то векторы и связаны соотношением , то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .

Пример.

Перпендикулярны ли прямая и плоскость .

Решение.

Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Направляющим вектором прямой является

Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Рабинович Е.М.

М.: 2014. - 80 с.

Пособие составлено в виде таблиц и содержит более 350 задач. Задачи каждой таблицы соответствуют определенной теме школьного курса геометрии 10-11 классов и расположены внутри таблицы в порядке возрастания их сложности.

Учитель математики, работающий в старших классах, хорошо знает, как трудно научить учеников делать наглядные и правильные чертежи к стереометрическим задачам.

Из-за недостатка пространственного воображения стереометрическая задача, к которой нужно сделать чертеж самостоятельно, зачастую становится для ученика непосильной.

Именно поэтому использование готовых чертежей к стереометрическим задачам значительно увеличивает объем рассматриваемого на уроке материала, повышает его эффективность.

Предлагаемое пособие является дополнительным сборником задач по геометрии для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы и ориентировано на учебник А.В. Погорелова "Геометрия 7-11". Оно является продолжением аналогичного пособия для учащихся 7-9 классов.

Формат: pdf (2014, 80с.)

Размер: 1,2 Мб

Смотреть, скачать: drive.google ; Rghost

Формат: djvu (2006, 80с.)

Размер: 1,3 Мб

Скачать: drive.google

Оглавление
Предисловие 3
Повторение курса планиметрии 5
Таблица 1. Решение треугольников 5
Таблица 2. Площадь треугольника 6
Таблица 3. Площадь четырехугольника 7
Таблица 4. Площадь четырехугольника 8
Стереометрия. 10 класс 9
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия... 9
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. 10
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые 11
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей 12
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей 13
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей 14
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости 15
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости 16
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости 17
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости 18
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная 19
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная 20
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах 21
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах 22
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах 23
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей 24
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей 25
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми 26
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве 27
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми 28
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью 29
Таблица 10.22. Угол между плоскостями 30
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника 31
Таблица 10.24. Векторы в пространстве 32
Стереометрия. 11 класс 33
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол 33
Таблица 11.2. Прямая призма 34
Таблица 11.3. Правильная призма 35
Таблица 11.4. Правильная призма 36
Таблица 11.5. Наклонная призма 37
Таблица 11.6. Параллелепипед 38
Таблица 11.7. Построение сечений призмы 39
Таблица 11.8. Правильная пирамида 40
Таблица 11.9. Пирамида 41
Таблица 11.10. Пирамида 42
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида 43
Таблица 11.12. Построение сечений пирамиды 44
Таблица 11.13. Цилиндр 45
Таблица 11.14. Конус 46
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус 47
Таблица 11.16. Шар 48
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар 49
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда 50
Таблица 11.19. Объем призмы 51
Таблица 11.20. Объем пирамиды 52
Таблица 11.21. Объем пирамиды 53
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды 54
Таблица 11.23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра..55
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конуса 56
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса 57
Таблица 11.26. Объем шара. Площадь поверхности шара 58
Ответы, указания, решения 59

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.

На рисунке 131 изображена прямая а, перпендикулярная плоскости а.

Т.2.9. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости.

Эту теорему называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости или теоремой о двух перпендикулярах.

На рисунке 132 изображена прямая а, перпендикулярная прямым с и проходящим через точку пересечения плоскости а и прямой а и лежащим в плоскости а. По можно утверждать, что .

В следующих двух теоремах говорится о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Т.2.10. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Т. 2.11. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

На рисунке 133 изображены такие прямые а и и плоскость а, о которых говорится в теоремах 2.10 и 2.11.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

На рисунке 134 изображены плоскость а и прямая а, которая

ее пересекает. Прямая а есть проекция прямой а на плоскость а. Тогда угол есть угол между прямой а и плоскостью а. Угол между параллельными прямой и плоскостью считается равным дулю, а угол между перпендикулярными прямой и плоскостью - равным 90°. Так как прямая а, ее проекция а на плоскость а и перпендикуляр к плоскости а в точке ее пересечения с прямой а лежат в одной плоскости, то угол между прямой и плоскостью дополняет до 90° угол между этой прямой и перпендикуляром к плоскости.

Пример. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость, причем концы его находятся на расстоянии 3 и 2 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.